Применение метода линейных определяющих уравнений к диффузионным моделям

Современный групповой анализ дифференциальных уравнений [1, 15] является необходимым этапом в исследовании математических моделей и представляет собой мощную технику для эффективного нахождения точных решений исследуемых моделей. Построение точных решений всегда представляет значительный интерес. Во-первых, потому что каждому точному решению, как правило, соответствует реальный процесс в исследуемой системе. Вовторых, точные решения могут быть использованы при тестировании численных алгоритмов и программ, предназначенных для расчета соответствующих моделей.

В последние десятилетия был предложен ряд обобщений основных инструментов классического группового анализа. В работе [2] описан неклассический метод, который тесно связан с методом дифференциальных связей [3]. В этом подходе к исходному дифференциальному уравнению.

Щх, и. и1,и2,.) = 0, (0.1) где х = (х, х-2,. .,#"), ик = я—и я—, добавляется условие инвариантной поверхности.

ЕА'/(.с.")</,. +N (x.u) = 0. (0.2) i.

Требуя инвариантности системы, состоящей из уравнений (0.1), (0.2), относительно точечных преобразований.

— ./•- { <�Х-{.Г.К) -]¦ ()><-) и* «- (Л (./•. //) -г ()[Г). или, эквивалентно.

Х:} — Xj, и* = и e (N (х, и) + Хг (х, //)</.,.) + 0(с2), получаем переопределенную систему нелинейных определяющих уравнений. Необходимо отметить, что решение такой системы может представлять значительные трудности.

Прямой метод [4], не использующий теорию групп преобразований, заключается в поиске решений дифференциального уравнения (0.1) с помощью представления.

После подстановки (0.3) в уравнение (0.1) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение на функцию w (z). Однако, все решения, получаемые с помощью данного подхода, могут быть выделены и неклассическим методом (см. [5]).

Согласно [6], функция и, и1, и2,.) называется обобщенной условной симметрией уравнения (0.1), если она удовлетворяет нелинейному определяющему уравнению и =.

A (t, x, ic{z)), z = z{t, x).

0.3).

T (a)Q + Fu, a) |fi=0 = 0, F (i/, 0) = 0, где здесь Da = D®1. D^ и DXj — полная производная по Х{. Решение нелинейных определяющих уравнении в методе обобщенных условных симметрии может представлять существенные трудности.

Для систем дифференциальных уравнений О. В. Капцовым [39, 17, 7] был предложен метод^{-определяющих} уравнений, которые обобщают классические определяющие уравнения. Для (0.1), Б-определяющее уравнение имеет вид.

Г (<7)П + В<7|п=о = 0, (0.4) здесь В может зависеть оти1,. и определяется в ходе решения (0.4). Соотношение метода В-определяющих уравнений с другими неклассическими методами изучено в [8].

Наконец, в работе [12], О. В. Капцов предложил метод линейных определяющих уравнений (в дальнейшем ЛОУ). ЛОУ содержат лишь произвольные параметры, поэтому решать такие уравнения проще, чем В-определяющие уравнения, содержащие некоторые функции.

Настоящая работа посвящена применению современного неклассического метода ЛОУ к нелинейным диффузионным моделям, которые имеют широкие приложения. При выполнении расчетов использовалась система символьных вычислений Maple.

В первой главе диссертационной работы рассмотрено нелинейное диффузионное уравнение щ = (иких + ит) х. (0.5).

Первый параграф содержит замечания вводного характера. Второй параграф посвящен построению дифференциальных связей эволюционного уравнения (0.5) с помощью метода ЛОУ. Показано, что набор решений ЛОУ шире, по сравнению с классическими определяющими уравнениями. Результат поиска дифференциальных связей сформулирован в виде Теоремы 1. Построение решений ряда нелинейных диффузионных уравнений (0.5), обладающих найденными дифференциальными связями, проведено в третьем параграфе первой главы.

Вторая глава данной работы посвящена построению дифференциальных связей двухкомпонентных систем уравнений типа реакция — диффузия щ = {ики'их)х + г>), (0.6) vt = d1(umvnvx)x + f2(u, v). (0.7).

Замечания вводного характера приведены в первом параграфе. Во втором параграфе построены ЛОУ для двухкомпонентной системы эволюционных уравнений второго порядка. Далее, с помощью построенных ЛОУ, ищутся дифференциальные связи систем (0.6), (0.7). Результаты поиска представлены в третьем параграфе второй главы. Наконец, используя найденные дифференциальные связи, в четвертом параграфе проводится построение решений соответствующих систем уравнений реакция — диффузия (0.6), (0.7).

Третья глава диссертационной работы посвящена решению задачи о редукции двухкомпонентной системы уравнений реакция — диффузия щ = (К[и.г)иг)г — 1-'[и. /'). (0.8) vt = {P{u, v) vx)x + G (u, v) (0.9) к одному уравнению с помощью дифференциальных подстановок [38]. В первом параграфе проводятся некоторые предварительные обсуждения и доказывается Лемма 1, в которой утверждается, что системы.

0.8), (0.9) допускают дифференциальные подстановки не выше второго порядка. Описание всех систем (0.8), (0.9), обладающих дифференциальными подстановками, проведено во втором параграфе. Результат сформулирован в виде Теоремы 2. В третьем параграфе приведены примеры построения точных решений для систем (0.8), (0.9), обладающих дифференциальными подстановками. Выделен класс систем, допускающих редукцию к линейному уравнению теплопроводности, а также к линеаризуемым [15, 13] уравнениям.

Vi = v2vxx, vt = v~2vxx.

Основные результаты диссертации.

С помощью метода ЛОУ проведено построение дифференциальных связей порядков 1, 2, 3, 4 для эволюционного уравнения диффузияконвекция со степенными нелинейностями. Доказано, что на исследуемом классе дифференциальных уравнений, набор решений ЛОУ шире, чем у классических определяющих уравнений. На основе полученных результатов построен ряд решений уравнений диффузия — конвекция, обладающих дифференциальными связями.

Построены ЛОУ для двухкомпонентной системы эволюционных уравнений. Используя построенные ЛОУ, проведено описание систем нелинейных уравнений типа реакция — диффузия, обладающих дифференциальными связями 1, 2, 3 порядков. Найдены некоторые точные решения ряда таких систем.

Решена задача о редукции двухкомпонентной системы нелинейных уравнений типа реакция — диффузия к одному уравнению с помощью дифференциальных подстановок. Приведены примеры построения точных решений систем, обладающих редукциями.

Результаты диссертации опубликованы в работах [42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 54].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Олегу Викторовичу Капцову за ценные советы и постоянное внимание к работе.

Автор благодарит Валерия Ивановича Быкова за стимулирование интереса к моделям химической кинетики и внимание к работе.

Работа выполнена в рамках Интеграционного проекта фундаментальных исследований СО РАН № 2000;1, при финансовой поддержке РФФИ (код 01−01−850), Красноярского краевого фонда науки (проект № 9F25) и ассоциации «Компак» (г. Красноярск).

1. Овсянников J1.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Москва: Наука. 1978.

2. Bluman G.W., Cole J.D. The General Similarity Solution of the Heat Equation. //J. Math. Mech. 1969. Vol. 18. P. 1025−1042.

3. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1984.

4. Clarkson P.A. Kruskal M.D. New Similarity Reductions of the Boussinesq Equation. // .J. Math. Phys. 1989. Vol. 30. P. 2201−2213.

5. Levi D., Winterwnit. z P. Nonclassical Symmetry Reductions: Example of the Boussinesq Equation. // J. Phys. A: Math. Gen. 1989. Vol. 22. P. 2915−2924.

6. Fokas A.S., Liu Q.M. Generalized Conditional Symmetries and Exact Solutions of Nonintegrable Equations. // Theor. Math. Phys. 1994. Vol. 99. P. 263−277.

7. Kaptsov О. V. B-Determining Equations: Applications to Nonlinear Partial Differential Equations. // Euro. J. of Appl. Math. 1995. Vol. 6. P. 265−286.

8. Goard J. The Relationship between Kaptsov’s B-determining Equations and Other Nonclassical Methods. // School of Math, and Appl. Stat., Univ. of Wollongong. Australia. 1999. Preprint 2.

9. Калашников А. С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка. // Успехи математических наук. 1987. Т. 42. Вып. 2(2−54). С. 135— 176.

10. Полубаринова-Кочипа П. Я. Теория движения грунтовых вод. Москва: Наука. 1977.

11. Капцов О. В. Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей. // Математический сборник. 1998. Т. 189. № 12. С. 103−118.

12. Meirmanov A.M., Pukhnachov V.V., Shmarev S.T. Evolution Equations and Lagrangian Coordinates. New York: Walter de Gruvter. 1997.

13. Свинолупов С. И. Эволюционные уравнения второго порядка, обладающие симметриями. // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. Вып. 5(245). С. 263−264.

14. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. Москва: Наука. 1983.

15. Гурса Э. Курс математического анализа. Москва: ГТТИ. Т. 3. Ч. 2. 1933.

16. Андреев В. К. Катков О.В. Пухначев В. В. Родионов А. А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука. 1994.

17. Fabre J., Line A. Modelling of two-phase slug flow. // Annual Rev. Fluid Mech. 1992. 24. 21.

18. Moissis R., Griffith P. Entrance effects in a two-phase slug flow. // J. Heat Transfer. 1962. 84. 29.

19. Bernicot M.F., Drouffe J.M. Slug length distributions in diphasic transportation systems. // Proc. 4th Int. Conf. Multi-Phase Flow. 1989. Nice. France. P. 485−493.

20. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных стрзлстур. Москва: Наука. 1996.

21. Ахромеева Т. С. Курдюмов С.П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. Москва: Наука. 1992.

22. Васильев В. А. Романовский Ю.М., Яхно В. Г. Автоволновые процессы. Москва: Наука. 1987.

23. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. Москва: Наука. 1984.

24. Кринский В. И., Михайлов А. С. Автоволны. Москва: Знание. 1984.

25. Галактионов В. А., Курдюмов С. П. Самарский А.А. Об одной параболической системе квазилинейных уравнений. I // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 12. С. 2123−2140.

26. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. Москва: Мир. 1982.

27. Фомин С. В., Беркинблит М. В. Математические проблемы в биологии. Москва: Наука. 1973.

28. Полак Л. С., Михайлов А. С. Процессы самоорганизации в физико-химических системах. Москва: Наука, 1983.

29. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. Москва: Наука. 1974.

30. Дородницын В. А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. Т. 22. № 6. С. 1393−1400.

31. Рудых Г. А., Семенов Э. И. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком). // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 6. С. 971−977.

32. Рудых Г. А., Семенов Э. И. Точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии. // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39. № 5. С. 1131−1140.

33. Рудых. Г. А., Семенов Э. И. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии. // Мат. заметки. 2000. Т. 67. № 2. С. 250−256.

34. Данилов Ю. А. Теоретико-групповые свойства математических моделей в биологии. // Математическая биология развития. / Под ред. Зотина А. И. Москва: Наука. 1982. С. 5−15.

35. Михайлов А. В., Шабат А. Б. Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем. // Успехи математических наук. 1987. Т. 42. Вып. 4(256). С. 3−53.

36. Mikhailov A.V., Shabat А.В., Sokolov V.V. The Symmetry Approach to Classification of Integrable Equations // What Is Integrabilitv? / Editted by Zakharov V.E. Berlin: Springer-Verlag. 1991. P. 115−183.

37. Капцов O.B. Построение точных решений систем диффузионных уравнений. // Математическое моделирование. 1995. Т. 7. № 3. С. 107−115.

38. Капцов О. В. Нелинейные диффузионные уравнения и инвариантные многообразия. // Математическое моделирование. 1992. Т. 4. № 8. С. 31−46.

39. Белотелое Н. В., Лобанов А. И. Популяционные модели с нелинейной диффузией. // Математическое моделирование. 1997. Т. 9. № 12.

40. Kaptsov O.V. Determining equations in diffusion problems. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2000. Vol. 15. .№ 2. P. 163−166.

41. Шмидт А. В. Точные решения систем уравнений типа реакция-диффузия. // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3. № 4. С. 87−94.

42. Шмидт А. В. Точные решения систем уравнений типа «реакция-диффузия». // Тезисы международной конференции «Симметрия в естествознании» .Красноярск: ИВМ СО РАН. 23−29 августа 1998.

43. Шмидт А. В. Дифференциальные связи одного класса нелинейных параболических уравнений. // В сб. Труды семинара «Математическое моделирование в механике» под рук-вом проф. В. К. Андреева. Красноярск: ИВМ СО РАН. 1999. С. 190−196.

44. Шмидт А. В. Дифференциальные связи одного класса нелинейных диффузионных уравнений с конвективным членом. // Вычислительные технологии. 2000. Т.о. № 4. С. 111−123.

45. Шмидт А. В. О дифференциальных связях одного класса систем «реакция диффузия». // Труды международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения». Красноярск: ИВМ СО РАН. 21−25 августа 2000.

46. Шмидт А. В. Построение дифференциальных связей для одного класса систем реакция диффузия. // Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН. 25−26 декабря 2000. Новосибирск: ИВТ СО РАН. Т. 2. С. 180−182.9.5.

47. Шмидт А. В. Инвариантные многообразия одного класса систем реакция диффузия. // Труды международной конференции «Математические модели и методы их исследования». 16−21 августа 2001. Красноярск: ИВМ СО РАН. Т. 2. С. 290−294.

48. Шмидт, А. В. Применение линейных определяющих уравнений для построения дифференциальных связей систем реакция диффузия. Препринт ИВМ СО РАН № 4−01. Красноярск. 2001.

49. Зельдович Я. В., Франк-Каменецкий Д.А. // ДАН. 1938. Т. 19. № 4. С. 693−698.

50. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия" и теплопередача в химической кинетике. Москва: Наука. 1980.

51. Merzhanov A.G., Khaikin B.I. // Progr. Energy Combust. Sci. 1988. Vol. 14. P. 1−98.

52. Быков В. И., Шмидт А. В. Точные нестационарные решения простейшей модели распространения цепного пламени. // Доклады РАН. 2000. Т. 375. № 2. С. 188 190.