Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего и высокого порядков с действительными характеристиками
В зависимости от того имеет ж характеристическое уравнение действительные и комплексно сопряженные, действительные различные или действительные кратные корни, дифференциальное уравнение третьего порядка с двумя независимыми переменными приводится к уравнению составного типа, либо к уравнению с действительными характеристиками, либо к уравнению с кратными характеристиками. Первый тип уравнений… Читать ещё >
Содержание
- ВВЕДЕНИЕ,
- ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО И БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯД
- КОВ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ. ОБЛАСТИ
- 1. Задача I.*.*
- Задача
- 2. 3. а д, а ч а
- 3. Задача
- ГЛАВА II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКОВ
- В СМЕШАННОЙ ОБЛАСТИ ¦
- I. 3 а д, а ч, а I
- Задача
- 2. 3. а д, а ч а
- 3. 3. а д, а ч а
- 4. 3. а д, а ч а
Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего и высокого порядков с действительными характеристиками (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В зависимости от того имеет ж характеристическое уравнение действительные и комплексно сопряженные, действительные различные или действительные кратные корни, дифференциальное уравнение третьего порядка с двумя независимыми переменными приводится к уравнению составного типа, либо к уравнению с действительными характеристиками, либо к уравнению с кратными характеристиками.
Первый тип уравнений рассматривался многими математиками. Достаточно подробные его исследования приведены, например, в монографиях М. С. Салахитдинова (JE], Т. Д. Джураева [2]. Последующие два типа объединим одним названием — дифференциальные уравнения с действительными характеристиками, которые будут предметом наших исследований.
Если в одной части рассматриваемой области уравнения с кратными характеристиками, а в другой с действительными характеристиками и эти части разделены линией перехода, на которой уравнение или не определено или вырождается, то такое уравнение будем называть уравнением смешанного типа.
Уравнения с действительными характеристиками находят широкое применение при моделировании задач механики и техники, в частности, в задачах магнито-гидродинамики L33, 34], в задачах тепломассообмена t32, 36] и фильтрации 131], в задачах динамики арок и колец 1221, в задачах аэродинамики [21], и т. д.
В настоящее время имеется большое количество работ отечественных и зарубежных математиков, посвященных исследованию краевых задач для этих уравнений.
Т.Д.Джураевым [2^, Я. С. Шарифбаевым ]б А. С. Рустамовым, а также итальянским математиком B. Pinl Х19] были изучены различные краевые задачи для уравнении третьего порядка с оператором теплопроводности в главной части.
Работы R. Nardini ^33,34^ О. М. Тверитина j30l, Takahashi Tadaysi, Iwamiya Tashiyki L37}, Bona Jerry L,.
Daugalis Vassilios А.^38), М. Х. Шханукова 123−25^, B.A.Ba-даховой 126−28*1, i. CaBcante L20I, также посвящены изучению уравнении с действительными характеристиками.
Можно назвать еще работу С. Елубаева 135^ в которой рассматриваются краевые задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа.
Продолжается исследование краевых задач для смешанных уравнений третьего порядка, содержащих параболо-гиперболиче-ский оператор. Среди других назовем лишь работы, М.С.Салахит-динова, Т. Д. Джураева 3], М. С. Салахитдинова, А. М. Нагорного, Т. Д. Джураева, М. Мамажанова 151, Я.С.ШарифбаеЕа 17}, А. Сапуева 8l, Б. Байменова 129^, М. Мамажанова t9l.
И все же, уравнения с действительными характеристиками третьего и более высокого порядка остаются мало изученными.
Настоящая диссертация посвящена постановке и исследованию корректных краевых задач для отдельных классов уравнений третьего и более высокого порядков с действительными характеристиками и смешанных уравнений, составленных из них.
Она состоит из введения, двух глав и списка литературы. Приведем полученные основные результаты.
Первая глава содержит четыре задачи" Пусть.
— односвязные области плоскости XQU, где л 1.
• — - -3.
3 а д, а ч, а I. Найти функцию удовлетворяющую уравнению.
U.^ (I) в области Л и краевым условиям.
Исследование этой задачи начато с построения решения задачи I для однородного уравнения (I), затем построено решение однородной задачи I для уравнения.
С помощью их, решение исходной задачи I сведено к решению интегро-дифференциального уравнения, которое реализовано методом последовательных приближений.
Единственность решения задачи I доказана с помощью неравенств, полученных при построении решения.
Задача 2. Найти функцию удовлетворяющую уравнению в области и краевым условиям u u.
UxO J-0.
Единственное регулярное решение этой задачи построено в явном виде. ^.
Задача 3. Найти функцию удовлетворяющую уравнению хххх в области и граничным условиям.
2).
Ч)-<�Г^ ' Oi^iW. (4).
Решение задачи 3 найдено в виде суммы.
Функция «W^ - решение уравнения удовлетворяет неоднородным условиям (2), (4) и однородным условиям (3), a — решение уравнения удовлетворяет однородным условиям (2), (4) и неоднородным условиям (3),.
Решение обеих задач эквивалентно сведено к решению системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода с ядрами имеющие интегрируемые особенности. Задача 4. Найти функцию.
Щх.теС. IVI Г С. ^^ еоли и. — четное,.
С et fit iTty.
— если.
VI — нечетное) удовлетворяющую уравнению.
VL.
О*.
П)и+1ы.
О) х:
О) ОС.
И + 1- и краевым условиям u для четных Vt, и.
VL г a ы U.
H+d для нечетных VI •.
С помощью специально построенной функции Грина.
7, Vj^ получено решение задачи 4 для уравнения .VL которое для четных VI, имеет вид.
О ^ Т4 * й h Ovi Гт о К г d.
•V.
5 * ЪА.
Это дало возможность сведению вопроса существования ре.
О О, А шения нелинейной задачи 4 к существованию решения интегро-дифференциального уравнения.
Единственность решения задачи 4 доказана методом последовательных приближений.
Вторая глава состоит из пяти задач. Пусть ^ - треугольная область, ограниченная прямыми ~ 0, -'X.,, а ^ - промежуток.
0<Х<1 прямой. Совокупность областей ,.
3 обозначим через П^ •.
За дача I. Найти функцию Ц (, Х, р, которая.
1) непрерывно дифференцируема в замкнутой области П^ ;
2) является решением из клдсса R. в области и регулярным решением в области П^ уравнения a^u^x^vy t^x^u, >о, при IJ ^ 0.
3) удовлетворяет на отрезке непрерывным условиям склеивания.
4) удовлетворяет краевым условиям.
IV,^" ft) VL Vj—X 1.
Через R. обозначен класс функций, представших посредством Функции Римана [17″ ] •.
Решение уравнения (5) в области, удовлетворяющее условиям (7), имеет вид О.
Отсюда, при Ц—?-0, найдено соотношение xd о.
Второе соотношение между X и ^ (X) получено интегрированием уравнения (5) при > 0 по переменной X в пределах от 0 до X и последующим предельным переходом при —V 0 :
3L.
Ьсх). о.
С помощью найденных из этих соотношений ^ (Д.), решение задачи I в области ^ выписано явно.
Задача 2. Определить функцию 1, которая.
I) непрерывно дифференцируема в замкнутой области TJ ;
2) имеет непрерывную производную VI ц при переходе через промежуток — ^.
3) является регулярным решением уравнения <Т.
Г uy aix^u^U^u^ c (x, u) u.
8) И х N хх где в области q^ лпри Ф 0) — 4) удовлетворяет граничным условиям.
Преобразуя уравнение (8), для определения неизвестных t [X)" ^ получены два соотношения.
Ч*} [АЛ, о^ ex-l dt *.
•V о.
Из них, с помощью граничных условий определены искомые Т, ^ «Н ^^ «К '.
В результате, решение задачи 2 в области ^^ сведено к известной задаче, исследованной в j-d, а в области оно выписано явно, 1.
Задача 3. Найти регулярное решение уравнения о= ч U V0'.
XX'.
ЛГа’т ' М в области (при ^ Ф 0)" непрерывно дифференцируемое в замкнутой области «удовлетворяющее граничным условиям.
ГШ.
4 <0.
U CX^ ,.
0)4 l^-X условию склеивания (6) и условию.
Решение задачи 3 в области Ti 3 а д, а ч, а 4. Определить функцию ^ДАХ,^), которая выписано в явном виде.
I) непрерывно дифференцируема в замкнутой области П^.
2) является регулярным решением уравнения а>г о= о>ес.1 >0 в области Hi (при lj ф 0);
3) удовлетворяет условиям склеивания (6);
4) удовлетворяет граничным условиям а>п>
— 4-iu to.
Общее решение уравнения (9) в области Фл имеет вид do).
С помощью (Ю), при Vj—>-0 найдено соотношение.
— 14.
— s КX’V5CO) + >[? ос V 0).
Второе соотношение получено из уравнения (9) при IJ > 0 «путем интегрирования по переменной X в пределах от О до X и последующим предельным переходом при ^ * Посредством граничных условий найдены неизвестные функции Т.
В результате, решение задачи 4 в области ^ сведено к решению задачи 4 главы I (случай VI), а в области оно выписано явно.
Задача 5. Найти регулярное решение в области ^ (приф 0) уравнения u. ОЛ*^u ^ fc №, у) а ос + ц (П) дважды непрерывно дифференцируемое в замкнутой области, удовлетворяющее условиям склеивания (6) и граничным условиям.
CK 1, 0 TJ ik, u.
0)11.
IL го И.
Для определения значения искомой функции 1/Цх, 1|)и ее производной на отрезке *3 первое соотношение между перенесенное из области найдено в виде.
Второе соотношение получено из уравнения (II) при ^>0 > после некоторых преобразований и яредельного перехода при :
X о лWx-Л.^^, oytXV) Л-*.
-'о.
— зс.
— 16.
Из этих равенств, используя условия определены значения СХЛ, ^(^с) • в результате этого, решение задачи 5 в области ^ сведено к решению. задачи 3 главы I .В области оно выписано в явном виде.
Результаты диссертации опубликованы в работах автора39 — 41 ^ и докладывались на семинаре «Дифференциальные уравнения с частными производными и математические вопросы механики» Института механики и сейсмостойкости сооружений имМ.Т.УразбаеваАН УзССР (руководитель — член-корреспондент АН УзССР Т.Д.Джураев), на семинаре. отдела дифференциальных уравнений Института математики им. В, И, Романовского АН УзССР (руководитель — академия АН УзССР М.С.Салахитди-нов), на Всесоюзном коллоквиуме по теории кубатурных формул и дифференциальным уравнениям с частными производными, г. Бухара 1983 г., на Всесоюзном семинаре по аналитическим методам исследований эллиптических уравнений, г. Уфа, 1984 г.
Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю, члену-корреспонденту АН УзССР, доктору физико-математических наук, профессору Тухтамураду Джураевичу Джураеву за постановку. задач, многочисленные ценные советы и постоянную поддержу.
1. С, а л, а хи т. дин о в М. С, Уравнения смешанно-составного типа, Ташкент, «Фан», 1974. — 156 с.
2. Д ж у р, а е в Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент, «Фан», 1979. 238 с.
3. Салахитдинов М. С., Д ж у р, а е в Т. Д. Ободной смешанной задаче для уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа. Ташкент, «Изв. АН УзССР», серия физ.-мат.наук, 1971, Ш 4, с.26−31.
4. Салахитдинов М. С., Нагорный A.M. Ободной краевой задаче для уравнений третьего порядка, параболо-гиперболического типа. Б сб. «Краевые задачи для уравнений математической физики», Ташкент, «Фан», 1980, с, 3−13.
5. Шарифба ев Я.С. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка с оператором теплопроводности с главной части, Ташкент, «Изв. АН УзССР», серия физ.-мат.наук, 1975, IP. I, с. 45−48.
6. Ш a p и ф б аев Я.С. О корректных краевых задачах дляуравнения с частными производными третьего порядка. составного. и гиперболо-параболического типа. Автореферат канд. дисс, Ташкент, 1975.
7. С о п j 6 в А. Краевые задачи для уравнений смешанногои смешанно-составного типа, содержащих параболо-ги-перболический оператор. Автореферат канд. диссТашкент, 1982.
8. Трик. оми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных", М.:. Изд. ИИ., 1957, 443 с.
9. Г у р с, а. Э. Курс математического анализа. Гос.техн.теорет. изд. 1933, т. З, ч.1, 276 с.
10. И л ь. ин A.M., Калашников А. С., 0 л е й н и кО.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. М.:.3№, 1962, т.17, вып. 3, с. 3-I4I.
11. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: «Мир», 1968, 427 с.
12. Д в, а й т Г. Б. Таблицы интегралов. М.: Наука, 1964, 228 с.
13. П у л ь к и н П. С. Задача. Трикоми для общего уравненияЛаврентьева-Бицадзе, М.: ДШ СССР, 1958, т. П8,Д 4, с. 38−41.
14. Cascante Joaguin M.A. Aprioximacionessucesivas de las soluciones de equaciones en deriervadas parciales de 3 orden. «Collect.math.», 1961, 13, No 1−2, 89−167.
15. Богданов E.B.O линейной задаче обтекания вибратора сверхзвуковым потоком вязкого газа', М.: ШМ, 1981, т. 45, вып.4, с. 645−650.
16. Пи липч ук В.Н. О существенно нелинейной динамике арок и колец. М.: ШМ, 1982, т. 46, вып. З, с. 461−466.
17. Ш х, а н у к о в М.Х. О некоторых краевых задачах дляуравнения третьего порядка, возникающих при. моделировании фильтрации жидкости в. пористых средах. М.: ДУ, 1982, т.18, Я 4, с. 689−699.
18. В, а д, а х о в.а. В, А, Краевые задачи с нелокальными условиями А. М. Нахушева для одного псевдо-параболиче-ского уравнения. влагопереноса, М: ДУ, 1982, т.18, Ш 2, с. 280−285,.
19. Б, а д, а х о в, а В. А. Об одной краевой задаче для уравгнения третьего порядка с нелокальными условиями A.M. Нахушева. М.: ДУ, 1983, т.19, J" I, с. 163−166.
20. Б, а д, а х о в, а В. А. Задача Гурса для обобщенного уравнения влагопереноса. Сб.: САПР и АСПР в мелиорации, Нальчик, 1983,.с. 74−80.
21. Байменов Б. О краевых задачах для уравненийсмешанно-составного типа. М.: ДУ, 1981, т.17, IS I, с. 13−17.
22. Тверитин О. М. Математическое рассмотрение задачи о продольном ударе по упруго-вязкому стержню со свободным концом, Киев: ДАН УССР, 1953, Л 5, с. 307−312.. .
23. Баре нб лат Г. И., Ж е л т о в Ю.П., КичинаИ.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиновидных породах. М.: ПММ, т.24, вып.5, I960, с. 852−864.
24. Ч уд н о в с к и й А. Ф. Теплофизика почвы. М.:Наука, 1976, 365 с.
25. Nard. Ini Renato. Soliizione di un problema al contorno della magneto-idrodinamica.Ann. mat. pura ed appl. 1953, v.35, 269−290.
26. Рубштейн М. М. К вопросу о процессе распространения тепла в. гетерогенной среде. М.:" Изв. АН СССР", серия географ. 1948, iS I, с. 27−45.
27. Takahashi М a d, а у, а в i, Iwamiya Tashiyki. On the non linear groupassociatedwith a non linear dispersive equation, «KokyMechn. Rept, Nat., Aerospace Lab, 1980, No 626, T. 15.
28. Bona Jerry L., Daudalis Vassi1 i о s A. An initial and bondary vallue problem for a model equation for propagation of lond waves. «J.Math. Anal, and Appl.», 1980, v.75, No 2,503−522.
29. С, а л и x о в Ш. Н. О краевой задаче для одного нелинейного уравнения третьего порядка с действительными характеристиками. «Изв. АН УзССР», серия физ.-мат. наук, 1983, Ш 2, с. 19−24.
30. Салихов Ш. Н. О краевой задаче для одного дифференциального уравнения в частных производных с действительными характеристиками." Изв. АН УзССР", серия физ.-мат.наук, 1983, IS 5, с. 29−33.
31. С, а л и х о в Ш. Н. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с действительными характеристиками. Б сб. «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения», Ташкент," Фан", 1984, с. 123−128.