Бирациональная геометрия трёхмерных расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней

1. Настоящая диссертация посвящена вопросам бирациональной классификации неособых трёхмерных многообразий, расслоенных над прямой на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2. Сама по себе проблема бирациональной классификации относится к одной из наиболее классических задач алгебраической геометрии, над которой, начиная с середины 19-го века, работали многие математики из разных стран и разных школ. Основной же объект диссертациирасслоения на поверхности дель Пеццо — тесно связан с бирациональными теориями, возникшими в последние 20 лет, такими, как программа минимальных моделей и программа Саркисова.

В настоящее время существуют несколько методов в бирациональной геометрии, ориентированных, как правило, на решение проблемы рациональности. Это, в частности, метод Клеменса-Гриффитса [32], основанный на анализе структуры промежуточного якобиана алгебраического многообразия, и его обобщения ([29]), применяемые к вырождениям многообразий ([27], [28]). Затем, метод Артина-Мамфорда [26], где рассматривается такой бирациональный инвариант многообразия, как группа Брауэра. В середине 90-х годов появился метод Коллара, в котором доказательство нерациональности многообразия достигается спуском в конечную характеристику и рассмотрением чисто несе-парабельных накрытий. Совсем недавно И. А. Чельцов [33] предложил ещё один приём, когда исходное многообразие деформируется к многообразию, бирацио-нально изоморфному расслоению на коники над линейчатой поверхностью.

Все перечисленные методы обладают своими достоинствами и недостатками, но наиболее универсальным и информативным является метод максимальных особенностей. По всей видимости, появление этого метода следует связывать с Максом Нётером, сформулировавшим и частично доказавшим результат о порождающих группы Кремоны (группы бирациональных автоморфизмов) проективной плоскости ([43]). Сам результат выглядит удивительно просто: группа Сг (Р2) порождена бирегулярными автоморфизмами, то есть элементами Аи^Р2), и каким-нибудь квадратичным преобразоанием. Заметим, что для Сг (1Р3), хотя прошло больше 130 лет, ничего похожего пока даже сформулировать не удалось (и, вероятно, не скоро удастся).

Нётер рассуждал следующим образом. Если бирациональный автоморфизм X € Сг (Р2) не является бирегулярным, то он линейную систему без базисных точек, например, полную линейную систему прямых С, переведёт в какую-то (неполную) линейную систему V со свойством &-щТ> > с= 1. Но, поскольку размерности линейных систем совпадают, V обязательно имеет предписанные базисные точки, в том числе, возможно, и бесконечно близкие. Нётер установил важный факт: сумма трёх наибольших кратностей V в этих точках строго больше степени Т>. Если теперь предположить, что эти кратности соответствуют различным точкам плоскости, то элементарные вычисления показывают, что при помощи квадратичного преобразования с центром в этих точках мы можем понизить степень линейной системы. Последовательно так действуя, мы в конце концов получим композицию квадратичныю преобразований, являющуюся бирегулярным автоморфизмом, то есть переводящую С в себя. Проблемы, возникшие у Нётера с доказательством, связаны были с исключением бесконечно близких точек, но и эти трудности были преодолены к началу 20-го века.

Ключевая идея метода максимальных особенностей, таким образом, уже в двумерном случае, на примере теоремы Нётера, выявлена: необходимо следить за базисными подмножествами «большой» кратности в линейных системах. В этом духе рассуждал и Дж. Фано (Сто Рапо), пытавшийся распространить эти идеи уже на трёхмерные многообразия. Трёхмерная геометрия, разумеется, много сложнее и богаче, но Фано выяснил, что многообразия, которые он рассматривал (как правило, они принадлежали классу, впоследствии названному В. А. Исковских многообразиями Фано), во многих случаях устроены так, что на подмножества «большой кратности «существуют очень сильные ограничения, и это либо исключало их существование вообще, либо позволяло найти подходящий бирациональный автоморфизм, как в случае квадратичного преобразования на плоскости, и «открутить» кратности, понизив степень линейной системы. Опять, как и в двумерном случае, основные трудности были связаны с бесконечно близкими особенностями. Фано сформулировал целый ряд очень сильных утверждений ([34]). К сожалению, доказательства его не отличались прозрачностью, во многих случаях до сих пор не ясно, насколько точны его рассуждения. Любопытно, что его тексты практически полностью лишены формул.

Тем не менее, многое из того, что было анонсировано Фано, впоследствии было доказано. И первой в новой истории метода максимальных особенностей была теорема Ю. И. Манина и В. А. Исковских о квартике ([11]). Им удалось дать строгое доказательство утверждения, сформулированного Фано, о том, что группа бирациональных автоморфизмов неособой трёхмерной кварти-ки совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов. До этого и Ю. И. Манин, и В. А. Исковских много времени уделяли изучению геометрии поверхностей над незамкнутыми полями, в том числе и функциональными, пытаясь таким образом подойти к геометрии многомерной. В последствии это вылилось в целый ряд исключительно сильных результатов ([12]), которые служат одним из опорных моментов настоящей диссертации.

Ф Принципиально важным оказалось то, что в статье [11] метод максимальных особенностей впервые обрёл и строгость, и стройность. Довольно быстро появился целый ряд результатов в бирациональной геометрии трёхмерных многообразий ([13]). В конце 70-х В. Г. Саркисов доказывает теорему о, выражаясь современным языком, бирациональной жёсткости «сильно закрученных по ба-зе» трёхмерных расслоений на коники ([22]), опираясь, помимо метода максимальных особенностей, на результаты А. А. Загорского о стандартных расслоениях на коники ([10]) и В. А. Исковских о поверхностях с пучком рациональных кривых (это, и многое другое, можно найти в [12]). Было доказано, что стандартное расслоение на коники, удовлетворяющее условию «четырёх канонических классов» (то есть |С + 4Кз ф 0, где С кривая вырождения), не имеет других структур.

Ситуация, однако, вскоре ухудшилась. Связано это было, вероятно, с изначальной направленностью схемы метода максимальных особенностей, предложенной Ю. И. Маниным и В. А. Исковских, на решение слишком конкретных задач (неособые многообразия Фано с малой степенью антиканонического класса).

9 Технически это выражалось в идее пробного класса и ориентации на использование характерного для метода квадратичного неравенства. В это время осуществляются неудачные попытки исследования многообразий Фано индекса 2 (в работах С. И. Хашина, подробнее об этом в конце главы), не удаётся усилить результат о расслоениях на коники, не получается применить схему к исследованию расслоений на поверхности дель Пеццо, и так далее.

Определённый успех в то время был достигнут в работах А. В. Пухликова, успешно применившего метод максимальных особенностей к многообразиям с особенностями (квартика с обыкновенной двойной точкой). Тогда же был сделан важный шаг к большим размерностям: была доказана теорема совпадении би-рациональных и бирегулярных автоморфизмов четырёхмерной квинтики ([15]).

Положение изменилось в 90-х годах благодаря новым работам А. В. Пухликова. Он переработал схему метода, отказавшись от техники пробного класса благодаря тщательному анализу структуры максимальных особенностей и применив язык дискретных нормирований ([16], [45]). Новые идеи оказались чрезвычайно плодотворными: метод теперь работал во всех размерностях и обрёл большую гибкость, благодаря чему, например, удалось «зацепить» расслоения на поверхности дель Пеццо ([46]). Так, был доказан аналог результата Исковских.

Манина во всех размерностях (гиперповерхности степени М в Рм- [17], усиление результата в [21]), для расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней доказана бирациональная жёсткость при выполнении К2-условия ([17], [18]), причём стало возможным комбинировать подходы (например, [20]) и исследовать многообразия с несколькими различными структурами расслоения ([2]). В новом своём виде метод макимальных особенностей оказался исключительно хорошо приспособленным к другим теориям. Скажем, он стал основным (и, видимо, единственным) практическим средством в программе Саркисова — общем подходе к факторизации отображений между расслоениями Мори, основанном идеях В. А. Исковских, В. Г. Саркисова, М. Рида и доказанной А. Корти в [31].

Метод максимальных особенностей является главным техническим средством предлагаемой диссертации. Из общих теорий используются основные понятия и результаты программы минимальных моделей и программы Саркисова.

2. Основная задача диссертации — изучение бирациональной геометрии неособых трёхмерных расслоений Мори на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2, не подпадающих под К2-условие (подробнее об этом условии сказано ниже, где формулируются основные результаты). Многообразия указанного типа, удовлетворяющие такому условию (что является общей ситуацией), были одной из тем докторской диссертации А. В. Пухликова ([17]). Тем не менее случаи, в которых К2-условие не выполнено, относятся не только к более трудным, но и к более содержательным. Например, среди них находятся многообразия, содержащие (в бирациональном смысле) различные структуры расслоений на рациональные подмногообразия, в частности, бирационально изоморфные многообразиям Фа-но основной серии индекса 2 и степеней 1 и 2. Кроме того, хотя метод максимальных особенностей, используемый в диссертации в качестве основного/технического средства, принципиально применим к исследованию любых многообразий отрицательной кодаировой размерности, в частности, к описанию трёхмерной группы Кремоны, важной проблемой остаются границы практической применимости метода. В диссертации удалось расширить эти границы, впервые успешно применив метод к многообразию Фано индекса 2 (так называемому двойному конусу над поверхностью Веронезе). Таким образом, разработанная в диссертации методика позволяет вплотную подойти к исследованию многообразий Фано индекса 2 и степеней 2 и 3, тем самым осуществив «смычку» различных методов бирациональной геометрии, в данном случае метода промежуточного якобиана (и его обобщения на вырождения многообразий) и метода максимальных особенностей.

Прежде, чем сформулировать основные результаты диссертации, необходимо напомнить ряд важных понятий и известных фактов. Мы придерживаемся стандартного алгебро-геометрического языка. Основные положения программы минимальных моделей можно найти в [41] и [36].

Напомним, что тройка /л: X —" Б называется расслоением Мори, если X проективное многообразие с О-факториальными терминальными особенностями, S нормальное многообразие размерности строго меньшей, чем размерность X, и р экстремальное стягивание расслоенного типа, то есть относительное число Пикара p (X/S) = р (Х) — p (S) равно 1 и (—Кх) относительно обилен.

В размерности 3 (на данный момент наивысшая размерность, где доказана программа минимальных моделей) есть три возможных типа расслоений Мори:

1) многообразие Фано (иногда называют Q-Фано), если dim S = 0, то есть S.

2) расслоение на поверхности дель Пеццо степени d, если dim S = 1 и слой над общей (схемной) точкой S есть поверхность дель Пеццо степени d].

3) расслоение на коники, если S поверхность.

В дальнейшем, чтобы не загромождать текст, расслоения Мори обозначаются не только (1: X —S, но и X/S или даже просто X, если из контекста ясно, о каких базах и структурных морфизмах идёт речь.

Пусть даны два трёхмерных расслоения Мори V/S и U/T и бирациональное отображение %: V —" U. Тогда программа Саркисова утверждает ([31]), что существует конечная цепочка бирациональных отображений где X0/S0,Xl/Si,.}XN/SN расслоения Мори, XQ/S0 = V/S, XN/SN = U/T, такая, что X — Xn ° Xn-i ° • • • ° Хг ° Xi и каждый Xi принадлежит одному из четырёх элементарных линков (Саркисова). Эти линки изображены на рисунке 1.1 (для примера показано разложение отображения Х2 '¦ Х —-> Х2).

На этом рисунке во всех типах линков ф изоморфизм в коразмерности 1 (последовательность лог-флипов). Для линка типа I: /х обозначает морфизм со связными слоями и 7 экстремальное дивизориальное стягивание. Отметим, что p (S2/S) = 1. Для типа II: ¦уг и 72 экстремальные дивизориальные стягивания и р бирациональное отображение. Линк типа III это обращение типа I. Наконец, в линках типа IV: ?1 и 82 морфизмы со связными слоями, R нормальное многообразие и p (S/R) — p (S2/R) — 1. Отметим, что разложение отображения на линки неоднозначно. В частности, композиция элементарных линков может быть элементарным линком.

Теперь дадим важное определение:

Определение 1.0.1. Будем говорить, что бирациональное отображение х '¦ V V' между расслоениями Мори р: V —>• S и р': V' —>¦ S' бирационально над базой, а сами расслоения имеют одну и ту же структуру Мори (посредством отображения х), если точка;

—-" -ХД Х2 4' 4*.

So S1 S2.

Ш IV.

Рис. 1.1: элементарные линки Саркисова.

• в ситуации dim S = dim S' > 0 существует бирационалъное отображение ф: S —> S' такое, что р' о х = ф ° р,.

• в ситуации dim S = dim S' = 0 Q-Фано многообразия V и V' изоморфны (и тогда х можно рассматривать как бирационалъный автоморфизм на.

V).

Указанное отношение (то есть «быть бирациональным над базой») разбивает всё множество расслоений Мори, бирационально эквивалентных некоторому многообразию X, на классы эквивалентности, и множество этих классов эквивалентности мы будем обозначать AtS (X) и называть множеством структур Мори на X.

Очевидно, множество структур Мори является бирациональным инвариантом. Отметим важный частный случай:

Определение 1.0.2. Будем говорить, что многообразие X является бирационально жёстким, если множество структур Мори MS (X) состоит из одного элемента.

Бирационально жёсткие многообразия образуют обширный и важный класс многообразий. Например, бирационально жёсткие многообразия нерациональны. Это немедленно следует из того, что Р3 бирационально изоморфно Р1 х Р2, то есть .М^Р3) содержит, как минимум, два элемента (на самом деле, столько, какова мощность основного поля).

Понятие множества структур Мори очень полезно при определении бираци-онального типа многообразия. Во многих случаях простое сравнение множеств структур Мори сразу даёт ответ (например, у одного это множество содержит расслоение на коники, у другого — нет). Если же к описанию множества структур Мори добавить описание «хорошей» модели в каждом классе бираци-ональной эквивалентности над базой, то мы получаем полноценное с практической точки зрения описание бирационального типа многообразия, сведя задачу бирациональной классификации к задаче классификации бирегулярной. Под «хорошей» моделью понимается такой класс многообразий, который удобен для описания и сравнения. Пример такого подхода приведён в диссертации для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. Нетрудно видеть, что это даёт практическое решение задачи бирациональной классификации.

3. Кратко опишем основные результаты диссертации. Пусть р: V —> Р1 неособое расслоение Мори на поверхности дель Пеццо степени ё, где в, равно 1 или 2. Это означает, что У неособо, все слои структурного морфизма р приведены и неприводимы и являются нормальными поверхностями дель Пеццо степени (I. Общий слой, по теореме Бертини, неособ. Обозначим 77 общую схемную точку Р1, и пусть Ут, слой над ц. Тогда Уп неособая поверхность дель Пеццо степени (I над полем функций прямой.

Одним из первых в диссертации доказывается следующий результат:

Теорема 1.0.3. Пусть р: V в и р': V' в неособые расслоения на поверхности дель Пеццо степени 1 или 2 над кривой Б, ф: V —-«¦ У бирациональное отображение такое, что следующая диаграмма коммутативна:

Предположим также, что 1р индуцирует изоморфизм слоев Уп и У^ над общей схемной точкой г} кривой 5*. Тогда ф продолжается до изоморфизма У и У.

Это не что иное, как утверждение о единственности неособой модели в классе всех бирациональных отображений над базой. Таким образом, неособые модели для рассматриваемого класса многообразий удобно выбрать в качестве «хороших» (о которых говорилось чуть выше). Утверждение этой теоремы в виде гипотезы было сформулировано автором в [3] (гипотеза 4.1).

Отметим, что стержнем диссертации является гипотеза, впервые появившаяся в [5] (гипотеза 3.1) для й = 1. Напомним, что эффективный дивизор на многообразии называется подвижным, если соответствующая ему полная линейная система не имеет базисных компонент. По аналогии с конусом эффективных кривых ИЕ (Х) в программе минимальных моделей определяется конус подвижных дивизоров КМ (Х) в пространстве (где р (Х) число Пикара.

V Л г 4-р 4У.

5 й1 многообразия X) как выпуклая оболочка всех подвижных дивизоров на X, а также замыкание этого конуса NM (X) в обычной вещественной топологии.

Определение. Будем говорить, что расслоение на поверхности делъ Пеццо V/P1 удовлетворяет К-условию, если (—Ку) Int NM (У), и удовлетворяет К2-условию, если (-Kv)2? IntNE (V).

В диссертации А. В. Пухликова [17] было показано, что /?Г2-условие является достаточным для бирациональной жёсткости неособых расслоений на поверхности дель Пеццо малых (не выше 3) степеней. Однако затем стало ясно ([3]), что оно не является необходимым. В связи с этим возникла следующая гипотеза:

Гипотеза 1.0.4 (Основная гипотеза). Расслоение Мори р: V Р1 на поверхности делъ Пеццо степеней 1, 2 или 3 бирационалъно жёстко тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет К-условию, или, другими словами, когда линейные системы n (—Kv) — F пусты либо имеют базисную компоненту при всех п > 0 (здесь F обозначает класс слоя).

Во всех известных доказанных жёстких и нежёстких случаях гипотеза (1.0.4) выполняется. Из сформулированных далее результатов этой диссертации и диссертации [17] следует важный факт:

Предложение 1.0.5. Для неособых расслоений (Мори) на поверхности дель Пеццо степеней 1 или 2 гипотеза (1.0.4) верна (для d = 2 по модулю условий общности, упомянутых в главе 4).

Далее, в настоящем тексте показано, что неособые расслоения на поверхности дель Пеццо определяются, с точностью до деформации, некоторым набором структурных констант (е, пь п2, щ) при d == 1 и (а, ni, ri2) при d = 2. Одним из основных результатов диссертации является следующий:

ТЕОРЕМА 1.0.6. Пусть V/P1 неособое расслоение (Мори) на поверхности дель Пеццо степени d = 1, не удовлетворяющее К2-условию. Тогда V нерационально и:

1) V/P1 бирационалъно жёстко, за исключением случаев структурных констант (0,2,2,2) и (0,0,1,2). Из свойства единственности неособой модели в классе отображений над базой следует, что V/P1 единственное неособое расслоение Мори в своём классе бирациональной эквивалентности;

2) для набора (0,2,2,2) имеем AiS (V) = {V/P1, U/Р1} (то есть имеется ровно две различных структуры Мори), где С//Р1 неособое расслоение на поверхности дель Пеццо степени 1 с тем же набором структурных констант, причём V и U связаны через флоп с центром в некотором сечении V/F1 и являются единственными неособыми расслоениями Мори в своём классе бирациональной эквивалентности;

3) для набора (0,0,1,2) имеем.

MS (V) = {U} U {рс: Uc Р1, где С € V}. где U некоторое неособое многообразие Фано индекса 2 и степени 1 (так называемый двойной конус над поверхностью Веронезе), V семейство кривых степени 1 и арифметического рода 1 на U, рс: Uc Р1 раздутие кривой С С U, V — Ui для некоторой кривой I? V, в классе бирациональной эквивалентности V все неособые расслоения Мори представлены U и теми Uc, для которых кривая С неособа, и группа бирационалъных автоморфизмов U совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов (она конечна и, в общем случае, состоит из двух элементов).

Сформулированный результат вместе с результатами [17] даёт полное решение проблемы бирациональной классификации неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. Отметим также, что класс бирационально жёстких расслоений без /Г2-условия (то есть (—Ку) & Int NM (V) и (—Ку)2 € Int NE (V)) непуст и представлен многообразиями с наборами структурных констант (2,2,6,12), (0,0,2,4), (0,0,3,6) и (0,2,3,4).

Другим основным результатом является решение проблемы бирациональной жёсткости для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2: теорема 1.0.7. Пусть V/F1 неособое расслоение (Мори) на поверхности дель Пеццо степени 2 со структурным набором (а, щ, П2), не удовлетворяющее К2-условию. Положим Ь = щ + П2- Тогда 0<6 + 2а<4и а) если 6 + 2а = 3, то V/P1 бирационально жёсткоб) если Ь + 2а = 2, то возможны только структурные наборы.

1) (0,0,2),.

2) (-2,2,4),.

3) (-3,2,6),.

4) (1,0,0),.

5) (0,1,1),.

6) (-1,2,2), и в первых трёх случаях V/f1 бирационально жёстко при некоторых условиях общности положения, в остальных — нежёстко. в) если Ь + 2а = 1, то возможны только случаи.

1) (0,0,1), 2) (-1,1,2), и оба случая бирационально нежёсткие.

Замечание. Условия общности положения, упомянутые в теореме, воспроизведены в соответствующем месте диссертации (§ 4.2). Они не являются принципиальными и, как это часто бывает в практике метода максимальных особенностей, носят технический характер.

Кроме основных, в диссертации доказан ряд дополнительных достаточно важных результатов. Например, утверждается, что гипотетический критерий жёсткости (1.0.4) верен «в одну сторону» для любых расслоений Мори на поверхности дель Пеццо степени 1 (именно, если V/Р1 жёстко, то выполняется К-условие), показывается, что классическое многообразие Фано индекса 2 и степени 2, кроме уже известных бирациональных моделей в виде расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2 и 3, имеет также иные модели в виде многообразий Фано (в категории Мори) и расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2 с кратным слоем. Последнее, кстати, приводит к интересным примерам линейных систем на многообразии Фано с бесконечно близкими максимальными особенностями.

4. Кроме введения, диссертация содержит три главы. В главе 2 рассматриваются в целом круг проблем, связанный с бирациональной геометрией рассматриваемых многообразий. В § 2.1, имеющим вводный характер, даются общие конструкции неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 и 2. В следующем § 2.2 исследуется постановка проблемы бирациональной жёсткости для этого типа многообразий, в частности, доказывается теорема 2.2.5, утверждающая, что для расслоений Мори (в том числе, имеющих особенности) на поверхности дель Пеццо степени 1 /¿-" -условие является необходимым для бирациональной жёсткости. Далее, § 2.3 посвящён вопросам перестройки слоя в расслоениях на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2. Там же доказывается теорема 1.0.3 о единственности неособой модели в классе бирациональных отображений над базой. В заключительном § 2.4 приводится основная информация о методе максимальных особенностях и его модификациях, используемых в диссертации.

Глава 3 посвящена расслоениям на поверхности дель Пеццо степени 1. В § 3.1 даётся конкретная конструкция неособых расслоений, описываемая набором структурных констант из четырёх чисел. В § 3.2 доказывается первая часть теоремы 1.0.6, касающаяся бирационально жёстких расслоений. В следующем.

§ 3.3 рассматриваются расслоения с набором структурных констант (0,2,2,2) (пункт 2 теоремы 1.0.6). Наконец, §§ 3.4−3.5 целиком посвящены наиболее трудному случаю, связанному с набором (0,0,1,2), когда имеется перестройка на многообразие Фано индекса 2 и степени 1 (последний пункт теоремы 1.0.6): в первом из этих двух параграфов рассматриваются максимальные особенности Ш линейных систем на самом многообразии Фано, а во втором на соответствующих моделях в виде расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. В конце § 3.5 содержится также разбор некоторых ошибок С. И. Хашина (об этом чуть ниже).

Заключительная глава 4 посвящена расслоениям на поверхности дель Пеццо степени 2. В § 4.1 приводится конструкция неособых расслоений, описываемая набором из трёх структурных констант. Затем, в § 4.2, доказывается часть теоремы 1.0.7, относящаяся к бирационально жёстким случаям. Доказательство этой теоремы завершает § 4.3, где рассматриваются бирационально нежёсткие расслоения. В последнем параграфе диссертации, § 4.4, показывается, что двойное пространство индекса 2, естественно связанное с неособыми расслоениями на поверхности дель Пеццо степени 2 с набором (0,0,1), бирационально перестраивается на многообразия Фано, являющиеся полным пересечением двух кубик в пространстве Р (15,2), и на нестандартные расслоения на поверхности дель Пеццо степени 2 с одним двукратным слоем. Эти перестройки соответствуют бесконечно близким максимальным особенностям линейных систем на ф двойном пространстве индекса 2, и примеры таких линейных систем завершают.

параграф.

5. В связи с результатами, полученными в диссертации, возникает один деликатный вопрос. Дело в том, что оба многообразия Фано индекса 2 (степени 1 и степени 2), рассматриваемые в диссертации, а именно, двойной конус над поверхностью Веронезе и двойное пространство индекса 2, ранее уже были темой кандидатской (!) диссертации С. И. Хашина ([25]). Более того, результат, анонсированный им о двойном конусе над поверхностью Веронезе, фактически делает бессмысленной ключевую часть предлагаемой диссертации. В [25] доказывалось, что это многообразие Фано не бирационально никакому другому многообразию Фано основной серии (то есть с единичным числом Пикара), и что оно не имеет бирациональных автоморфизмов, отличных от бирегулярных.

Что касается двойного пространства индекса 2, то его появление в настоящей диссертации в качестве темы целого параграфа, помимо естественных причин, связанных с тем, что это многообразие Фано бирационально изоморфно соответствующим расслоениям на поверхности дель Пеццо степени 2, обусловлено также и тем, что на нём автором были найдены новые, не известные ранее, • структуры Мори. И в частности, эти перестройки связаны с существованием бесконечно близких максимальных особенностей линейных систем. С другой стороны, хотя в диссертации С. И. Хашина нет окончательного утверждения о бирациональной геометрии этого многообразия Фано, им был сформулирован результат в предположении, что линейные системы на двойном пространстве индекса 2 бесконечно близких особенностей иметь не могут. В § 4.4 показывается совершенно обратное. Ш Что касается двойного конуса над поверхностью Веронезе, то здесь всё иначе. Дело в том, что основной результат у Хашина не доказан, хотя он и верен, а предложенное им доказательство изобилует неустранимыми ошибками. Разбор некоторых из них дан в конце § 3.5, после доказательства основного результата об этом многообразии Фано индекса 2.

Следует, однако, отметить, что вряд ли это можно всерьёз поставить С.И.Ха-шину в вину. Ситуация с методом максимальных особенностей 20 лет назад, после первых значительных успехов ([11], [13], [22]), сложилась крайне тяжёлая, и сложность предлагаемых к решению задач, на сегодняшний взгляд, явно недооценивалась. Отчасти это объясняется, видимо, отсутствием на тот момент достаточно ясных представлений о природе бирациональных соответствий в многомерном случае. В частности, не делалось различий в применении метода максимальных особенностей к многообразиям Фано и, с другой стороны, к расслоенным многообразиям, таким, как расслоения на поверхности дель Пец-цо. Скажем, понятие о сверхмаксимальной особенности, что, с точки зрения программы Саркисова, соответствует случаям отображений, не бирациональ-ф ных над базой, появилось много позже ([18]). Так или иначе, потребовалось значительное время, чтобы преодолеть кризис.

6. Всюду в диссертации предполагается, что основное поле алгебраически замкнуто и имеет характеристику 0 (без потери общности можно считать, что мы работаем над полем комплексных чисел). При употреблении понятий «многообразие Фано», «расслоение на поверхности дель Пеццо», «расслоение на коники «всегда предполагается, если явно не указано противное, что соответствующие объекты являются расслоениями Мори. т.

Глава 2.

Общие сведения о расслоениях на поверхности дель Пеццо.

В этой главе обсуждаются наиболее общие свойства расслоений на поверхности дель Пеццо. В § 2.1 напоминаются конструкции поверхностей дель Пеццо степеней 1 и 2 и их связь с общей конструкцией расслоений. В следующих главах это будет использовано для построения конкретных моделей соответствующих расслоений, на основе которых будут производиться вычисления.

В § 2.2 рассматривается постановка проблемы бирациональной жёсткости. В частности, показывается, почему мы ограничиваемся расслоениями с базой Р1 и малыми степенями (не выше трёх). Кроме того, для расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 в теореме 2.2.5 доказывается необходимое условие бирациональной жёсткости из гипотетического критерия 1.0.4.

Центральным в главе является § 2.3, где при рассмотрении послойных би-рациональных отображений расслоений на поверхности дель Пеццо степеней 1 или 2 доказывается теорема 2.3.1 о единственности неособых моделей в классе бирациональных отображений над базой. Несмотря на относительную несложность доказательства, этот факт сам по себе имеет ключевое значение для всей бирациональной геометрии неособых расслоений на поверхности дель Пеццо.

Наконец, в § 2.4 напоминаются некоторые ключевые конструкции метода максимальных особенностей, используемые в доказательствах основных результатов диссертации.

1. Загорский A.A., О трёхмерных конических расслоениях // Матем. заметки. 1977. Т. 21, № 6. С. 745−757.

2. Псковских В. А., Манин Ю. А. Трёхмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота // Матем. сборник. 1971. Т. 86, № 1. С. 140−166.

3. Исковских В. А. Факторизация бирационалъных отображений рациональных поверхностей с точки зрения теории Мори // УМН. 1996. Т. 51, Вып. 4. С. 3−72.

4. Исковских В. А., Бирациональные автоморфизмы трёхмерных алгебраических многообразий // Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Т. 12. М: ВИНИТИ, 1979. С. 159−236.

5. Исковских В. А., О проблеме рациональности для трёхмерных алгебраических многообразий, расслоенных на поверхности дель Пеццо // Труды МИАН. 1995. Т. 208. С. 128−138.

6. Пухликов A.B., Бирационалъный автоморфизмы четырёхмерной квинти-ки // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1986. № 2. С. 10−15.

7. Пухликов A.B. Замечание к теореме В. А. Исковских и Ю. И. Манина о трёхмерной квартике // Труды МИ РАН. 1995. Т. 208. С. 278−289.

8. Пухликов A.B. Бирациональные автоморфизмы многомерных алгебрами-ческих многообразий и проблема рациональности 11 Диссертация на соискание уч. степ, доктора фи.-мат. наук. ИСА РАН. Москва, 1997.

9. Пухликов A.B. Бирациональные автоморфизмы трёхмерных алгебраических многообразий с пучком поверхностей Дель Пеццо // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 62, № 1. С. 123−164.

10. Пухликов A.B., Послойные бирациональные соответствия // Матем. заметки. 2000. Т. 68, Вып. 1. С. 120−130.

11. Пухликов A.B., Бирационально жесткие расслоения Фано // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64, № 3. С. 131−150.

12. Пухликов A.B., Бирационально жесткие гиперповерхности Фано // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66, № 6. С. 159−186.

13. Саркисов В. Г., Бирациональные автоморфизмы расслоений на коники // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44, № 4. С 918−944.

14. Соболев И. В., Бирациональные автоморфизмы одного класса многообразий, расслоенных на кубические поверхности // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66, т. С. 203−224.

15. Хашин С. И. Бирациональные атоморфизмы двойного конуса Веронезе размерности три II Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1984. JV®1. С. 13−16.

16. Хашин С. И., Бирациональные автоморфизмы трёхмерных алгебраических многообразий // Диссертация на соискание уч. степ. канд. фи.-мат. наук. МГУ. Москва, 1985.

17. Artin, M., and Mumford, D., Some elementary examples of unirational varieties which are not rational // Proc. London Math. Soc. 1972. V. 25, № 3. P. 75−95.

18. Bardelli, F., Polarized mixed Hodge structure: on irrationality of threefolds via degeneration // Annali di Math, pura e appl. 1984. V. 137. P. 287−369.

19. Beauville, A., Varietes des Prym et jacobienne intermediaires // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1977. V. 10, № 4. P. 287−369.

20. Clemens, C.H., Application of the theory of Prym varieties // Proc. Int. Congr. Math., Vancouver, 1974. V. 1. P. 415−421.

21. Colliot-Thelene, J.-L., Arithmetique des varietes rationnelles et problemes birationnels // Proc. Int. Conf. Math. 1986. P. 641−653.

22. Corti, A., Factoring birational maps of threefolds after Sarkisov // J. Algebraic Geom. 1995. V. 4, №. 2. P. 223−254.

23. Clemens, H., and Griffiths, P., The intermediate Jacobian of the cubic threefold // Ann. of Math. 1972. V. 95, № 2. P. 281−356.

24. Cheltsov I., Nonrational del Pezzo fibrations // math. AG/407 343.

25. Fano G. Nuove ricerche sulle varieta algebriche a tre dimensioni a curve-sezioni canoniche // Comm. Rent. Ac. Sci. 1947. 11. P .635−720.

26. Fedorov I.Yu., Purely log terminal blow-ups of index 2 // Preprint MPI 04−22.

27. Flips and abundance for algebraic threefolds // Papers from the Second Summer Seminar on Algebraic Geometry held at the University of Utah, Salt Lake City, Utah, August 1991. Asterisque No. 211 (1992).

28. Hidaka, F., Watanabe, K., Normal Gorenstein surfaces with ample anticanonical divisor // Tokyo J. Math. 1981. V. 4, № 2. P. 319−330.

29. Kawakita, M., Divisorial contractions in dimension 3 which contract divisors to smooth points // Invent. Math. 2001. V. 145. Ж 1. P. 105−119.

30. Kawakita, M., Divisorial contractions in dimension 3 which contract divisors to compound Аг points // Compos. Math. 2002. V. 133. № 1. P. 95−116.

31. Kollar, J., Miyaoka, Y., and Mori, S., Rational connectedness and boundedness ofFano manifolds // J. Differential Geom. 1992. V. 36, № 3. P. 765−779.

32. Kollar, J., and Mori, S., Birational geometry of algebraic varieties. With the collaboration of C. H. Clemens and A. Corti // Cambridge Tracts in Mathematics, 134. Cambridge University Press. Cambridge, 1998.

33. Manin, Ju.I., Rational surfaces over perfect fields // Inst. Hautes Iltudes Sei. Publ. Math. 1966. № 30. P. 55−113.

34. N other, M., Uber Flachen welche Schaaren rationaler Curven besitzen // Math. Ann. 1871. V. 3. P. 161−227.

35. Park, J., Birational maps of del Pezzo fibrations // J. Reine Angew. Math. 2001. V.538. P. 213−221.

36. Pukhlikov, A.V., Essentials of the method of maximal singularities // Explicit birational geometry of 3-folds. P. 73−100. London Math. Soc. Lecture Note Ser., V. 281. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 2000.

37. Pukhlikov A.V., Birational automorphisms of higher-dimensional algebraic varieties // Doc. Math., J. DMV, Extra Vol. ICM Berlin 1998. V. II. P. 97−107.

38. Reid, M., Nonnormal del Pezzo surfaces// Publ. Res. Inst. Math. Sei. 1994. V. 30, № 5. P. 695−727.

39. Reid, M., Minimal Models of Canonical 3-Folds j j Adv. Stud, in Pure Math. 1983. № 1. P. 131−180.