Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Численный анализ и моделирование стохастических колебаний в нелинейных системах

Диссертация: Численный анализ и моделирование стохастических колебаний в нелинейных системах
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Другой подход использует дифференциальные математические модели стохастических систем — уравнения Ланжевена и стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). При этом модель в форме СДУ позволяет достаточно просто перейти к описанию стохастического процесса методом уравнения Фоккера-Планка (УФП). В то же время численные решения СДУ открывают широкие возможности для проведения численного… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Численный анализ спектрально-корреляционных характеристик марковских процессов в нелинейных системах первого порядка
    • 1. 1. Уравнения Ланжевена. Стохастические дифференциальные уравнения
    • 1. 2. Метод расчёта корреляционных функций марковских случайных процессов
    • 1. 3. Численный анализ стационарного броуновского движения в одномерных потенциальных ямах
    • 1. 4. Расчёт одномоментной плотности вероятности и статистических средних нестационарного броуновского движения
      • 1. 4. 1. Плотность вероятности одномерного броуновского движения
      • 1. 4. 2. Дисперсия и мощность одномерного броуновского движения
      • 1. 4. 3. Численное решение
    • 1. 5. Корреляционные характеристика периодически нестационарного броуновского движения
    • 1. 6. Примеры расчетов корреляционных функций периодически нестационарного броуновского движения
      • 1. 6. 1. Линейная стохастическая система
      • 1. 6. 2. Бистабильная стохастическая система
    • 1. 7. Стохастический резонанс в дискретной мультистабильной системе
  • Глава 2. Интегральные и дискретные модели стохастических колебаний
    • 2. 1. Интегральная модель осциллятора Дюффинга
      • 2. 1. 1. Интегральное уравнение движения нелинейной колебательной системы с одной степенью свободы
      • 2. 1. 2. Алгоритм численного решения интегрального уравнения движения
      • 2. 1. 3. Моделирование стохастических колебаний в осцилляторе Дюффинга
      • 2. 1. 4. Усреднение в интегральном уравнении движения
      • 2. 1. 5. Режим установившихся детерминированных колебаний
      • 2. 1. 6. Перестраиваемый емкостью электрический вибратор как осциллятор Дюффинга
    • 2. 2. Дискретный осциллятор Дюффинга: динамические и хаотические режимы колебаний
      • 2. 2. 1. Уравнение движения ДОД
      • 2. 2. 2. Частотные характеристики динамического режима колебаний ДОД
      • 2. 2. 3. Численный эксперимент по исследованию частотных характеристик дискретного осциллятора Дюффинга
      • 2. 2. 4. Гармонический анализ установившихся автоколебаний в ДОД
      • 2. 2. 5. Хаотические колебания в дискретном осцилляторе Дюффинга
    • 2. 3. Механизм хаотизации колебаний ОМД
      • 2. 3. 1. ОМД аналоговая и дискретная модели
      • 2. 3. 2. Резонансные характеристики ОМД
  • Глава 3. Стохастические процессы в моделях математической биологии
    • 3. 1. Модель системы хищник-жертва с запаздыванием
      • 3. 1. 1. Динамическая модель системы. Стационарные режимы и их устойчивость
      • 3. 1. 2. Стохастическая модель
      • 3. 1. 3. Результаты численного эксперимента
    • 3. 2. Интегральная автоколебательная модель взаимодействий по схеме хищник-жертва
      • 3. 2. 1. Стохастическая модель
      • 3. 2. 2. Результаты моделирования и сравнение с данными наблюдений
    • 3. 3. Дискретная модель взаимодействий по схеме хищник-жертва
      • 3. 3. 1. Уравнения движения системы в дискретном времени
      • 3. 3. 2. Стохастическая модель со случайным запаздыванием

Численный анализ и моделирование стохастических колебаний в нелинейных системах (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность работы.

Согласно принятой в естественных науках классификации к стохастическим системам относятся системы, переменные состояния которых испытывают флуктуации, обусловленные внешними случайными воздействиями и внутренними источниками шумов.

Один основных из подходов к анализу и моделированию процессов в стохастических системах — стохастических процессов состоит в использовании марковского приближения и аппарата кинетических уравнений, в частности, уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова для непрерывных марковских процессов [1—4].

Другой подход использует дифференциальные математические модели стохастических систем — уравнения Ланжевена и стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). При этом модель в форме СДУ позволяет достаточно просто перейти к описанию стохастического процесса методом уравнения Фоккера-Планка (УФП). В то же время численные решения СДУ открывают широкие возможности для проведения численного эксперимента в стохастических системах.

Первой стохастической дифференциальной моделью в физике, по-видимому, была модель Ланжевена, описывающая движение броуновской частицы, взвешенной в жидкости [5]. Полученное П. Ланжевеном уравнение, носящее его имя, — первый пример стохастического дифференциального уравнения. Однако достаточно долгое время подход Ланжевена оставался эвристическим, и строгой математической базы для него не существовало. В радиофизике первой работой в этом направлении была статья Л. С. Понтрягина, А. А. Андронова, А. А. Витта [6], опубликованная в 1933 году и долгое время сохранявшая свое основополагающее значение.

Термин «стохастические дифференциальные уравнения», а также первые работы по их теории принадлежат советскому математику С. Н. Бернштейну [7]. Японский математик К. Ито предложил первый вариант строгой теории СДУ на базе введенного им определения стохастического интеграла ([8], цит. по [1]). В настоящее время стохастическое интегральное исчисление Ито лежит в основе большинства математических исследований по теории СДУ. При этом весьма авторитетными руководствами в этой области являются монографии советских ученых И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [9, 10].

Еще одно определение стохастического интеграла, отличное от определения Ито, предложил P.JI. Стратонович [11, 12]. СДУ в форме Стратоновича, допускающие предельный переход от реальных физических шумов к идеализированному белому шуму, нашли широкое применение в прикладных исследованиях стохастических процессов [1].

В настоящее время стохастические модели широко используются в физике и химии [3, 4], в математической биологии и экологии [13], в экономике и финансовой математике [14, 15], в теории оптимального управления и фильтрации сигналов [16], в других отраслях естественных и технических наук.

Обзор текущего состояния проблемы численного интегрирования СДУ можно найти в статье [21].

Цель работы.

Целью диссертации является разработка численных методов анализа спектрально-корреляционных характеристик периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных системах и методов моделирования стохастических систем на основе интегральных уравнений движения.

Методы исследования.

Работа выполнена на основе методов теории колебаний, численного моделирования, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна диссертационной работы заключается: в методе расчета корреляционной функции стохастических колебаний, основанном на численном интегрировании систем дифференциальных уравнений, следующих из уравнения Фоккера — Планкав интегральном методе моделирования стохастических колебаний в нелинейных резонансных системах;

— в обнаружении новых хаотических режимов вынужденных колебаний дискретного осциллятора Дюффинга и осциллирующего магнитного диполя;

— в математических моделях систем, элементы которых взаимодействуют по схеме «хищник — жертва»;

Обоснованность и достоверность результатов работы.

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:

— использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа случайных процессов;

— использованием апробированных на практике методов анализа и синтеза дискретных систем;

— результатами тестирования разработанных математических методов и численных алгоритмов на задачах, имеющих точное аналитическое решение;

— соответствием приведенных результатов анализа и моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

— соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

Практическая значимость работы.

Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа стохастических колебаний и моделирования стохастических систем могут найти применение при решении задач проектирования устройств обработки сигналов и прогнозирования процессов развития систем различной физической природы.

Положения, выносимые на защиту.

1. Метод и результаты расчета корреляционных функций периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных стохастических системах первого порядка.

2. Метод моделирования стохастических колебаний на основе интегральных уравнений движения нелинейных резонансных систем.

3. Результаты численного эксперимента с дискретным осциллятором Дюффинга, в том числе обнаруженные режимы хаотических колебаний.

4. Механизм перехода к динамическому хаосу в дискретных бистабильных системах.

5. Интегральные и дискретные модели вольтерровской системы.

База исследований.

Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.

Апробация результатов работы.

Материалы диссертации докладывались на.

— V, VI, VII и VIII Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2006 г.- г. Казань, 2007 г.- г. Самара, 2008 г.- г. СанктПетербург, 2009 г.);

— Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2007» (г. Томск, 2007 г.);

— Всероссийской научно-технической конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.).

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 13 работ, в том числе 4 статьи из в журналах из перечня ВАК и 9 докладов и тезисов докладов на международных и всероссийских научно-технических конференциях.

Личный вклад.

Диссертант принимал непосредственное и равноправное участие в разработке математических моделей и численных алгоритмов, проведении расчетов, обсуждении и физической интерпретации результатов моделирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Предложен метод расчета корреляционных функций периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных стохастических системах первого порядка.

2. Для исследования явления стохастического резонанса синтезирована ДВ-система в форме нелинейного фильтра первого порядка.

3. Предложен метод моделирования стохастических колебаний на основе интегральных уравнений движения нелинейных резонансных систем с ДВ-фильтрацией источника шума.

4. Методом численного эксперимента с дискретным осциллятором Дюффинга установлено, что наряду с вынужденными динамическими колебаниями в системе реализуются режимы хаотических колебаний.

5. Выявлен механизм перехода к динамическому хаосу в дискретных бистабильных системах. Показано, что хаотизация системы является следствием ее скрытой стохастизации.

6. Разработаны интегральная и дискретная динамические и стохастические модели системы, элементы которой взаимодействуют по схеме «хищник — жертва».

Показать весь текст

Список литературы

  1. , В.И. марковские процессы / В. И. Тихонов, М. А. Миронов. -М.: Сов. радио, 1977. 488 с.
  2. , P.JI. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961. — 560 с. / 2-е изд. — Стратонович, P.JI. Случайные процессы в динамических системах. — М.-Ижевск: НИЦ РХД, 2009. — 592 с. (готовится к печати).
  3. , К.М. Стохастические методы в естественных науках. / К. М. Гардинер М.: Мир, 1986. — 528 с.
  4. Ван Кампен, Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. / Н. Г. Ван Кампен М.: Высш. Школа, 1990. — 376 с.
  5. , П. О теории броуновского движения // Ланжевен П. Избранные труды. М.:Изд. АН СССР, 1960. — С. 338−341.
  6. Л.С. О статистическом рассмотрении динамических систем / Л. С. Понтрягин, А. А. Андронов, А. А. Витт // Андронов А. А. Собрание трудов. -М.: Изд. АН СССР, 1956. С. 142−160.
  7. , С.Н. Принципы теории стохастических дифференциальных уравнений // Труды физ.-мат. института им. В. А. Стеклова. 1933. -Т. 5-С. 95−124.
  8. Ito, К. Stochastic integral // Proc. Imperial Acad. 1944. -V. 20. — P. 519 524.
  9. , И.И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гихман, А. В. Скороход. Киев: Наукова думка, 1968. — 356 с.
  10. , И.И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения / И. И. Гихман, А. В. Скороход. Киев: Наукова думка, 1982. -612 с.
  11. , Р.Л. Новая форма записи стохастических интегралов и уравнений // Вестник МГУ (Математика, механика). -1964. — № 1. С. 3−11.
  12. , P.JI. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. / P.JI. Стратонович-М.: Изд. МГУ, 1966. -319 с.
  13. , Дж. Математическая биология. Т. 1. Введение / Дж. Мюррей М.-Ижевск: РХД, 2009. — 776 с.
  14. , Р.Н. Введение в эконофизику: Корреляции и сложность в финансах / Р. Н. Мантенья, Г. Ю. Стенли. М.: ЛИБРОКОМ, 2009. — 192 с.
  15. , С.С. Математическое и статистическое моделирование в финансах / С. С. Артемьев, М. А. Якунин. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2008.- 174 с.
  16. , B.C. Стохастические дифференциальные системы / B.C. Пугачев, И. Н. Синицын. М.: Наука, 1985. — 560 с.
  17. , С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы. / С. М. Рытов М.: Наука, 1976. — 496 с.
  18. , А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. / А.Н. Малахов- М.: Наука, 1966. 660 с.
  19. , Н.Г. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. / Н.Г. Милыптейн- Свердловск: Изд. Уральского университета, 1988. 225 с.
  20. , Д.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. 3-е изд. / Д. Ф. Кузнецов — СПб: Изд. Политех. Университета, 2009. — 800 с.
  21. , А.В. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений / А. В. Лукшин, С. Н. Смирнов // Математическое моделирование. 1990. — Т. 2. — № 11. — С. 108−121.к главе 1
  22. Wright, D. J. The digital simulation of stochastic differential equations / D. J. Wright // IEEE Trans Automatic Control, 1974. v.19. -Nl. — c. 75−76
  23. , P. JI. Условные марковские процессы и их применение в теории оптимального управления / P. JI. Стратонович — М.: из у. НГУ, 1966. -319 с.
  24. Дуб, Дж. Вероятностные процессы / Дж. Дуб М.: ИЛ, 1956. — 606 с.
  25. Ито, К. Диффузионные процессы и их траектории / К. Ито, Г. Маквин -М.: Мир, 1968.-394 с.
  26. Ito, К. Stochastic integral / К. Ito // Proc. Imperial Academy 1944 — v20 -P.519−524
  27. , И. В. Управляемые процессы диффузионного типа / И. В. Крылов М.: Наука, 1977 — с.
  28. , И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гихман, А. В. Сказоход Киев: хз, 1968. — 356 с.
  29. , В. С. Стохастические дифференциальные системы / В. С. Пугачёв, И. Н. Синицин М.: Наука, 1985. — 560 с.
  30. Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии / Н. Г. Ван Кампен М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
  31. А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований / А. Н. Малахов М.: Сов. радио, 1978. — 376 с.
  32. В.И., Миронов М. А. Марковские процессы. / В. И. Тихонов, М. А. Миронов М.: Сов. радио, 1977. — 488 с.
  33. Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. / Р. Л. Стратанович М.: Сов. радио, 1961. — 558 с.
  34. А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. / А. Н. Малахов М.: Наука, 1968. — 660 с.
  35. В.В. Об одном способе вычисления корреляционных характеристик марковских случайных процессов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2006. — Т. 9. — № 4. — С. 73−75.
  36. Дж. Вычислительная линейная алгебра. / Дж. Деммель — М.: Мир, 2001.-430 с.
  37. B.C., Нейман А. Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JI. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН. 1999. — Т. 169. — Вып. 1. — С. 7−38.
  38. О.В. К анализу спектрально-корреляционных характеристик одномерного броуновского движения // Известия вузов. Радиофизика. 2003. -Т. 46. -№ 2.-С. 167−174.
  39. А.А., Малахов А. Н., Саичев А. И. Время корреляции и структура функции корреляции нелинейного равновесного броуновского движения в потенциальных ямах произвольной формы // Известия вузов. Радиофизика. 2000. — Т. 43. — № 4. — С.369−382.
  40. Стратанович P. J1. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. / P. J1. Стратанович М.: Сов. радио, 1961. — 558 с.
  41. К.В. Стохастические методы в естественных науках. / К. В. Гардинер М.: Мир, 1986. -528 с.
  42. Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. / Дж. Голуб М.: Мир, 1999.-548 с.
  43. Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике./Р.Л. Стратанович-М.: Сов. радио, 1961. — 558 с.
  44. А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. / А. Н. Малахов М.: Наука, 1968. — 660 с.
  45. С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы. / С. М. Рытов М.: Наука, 1976. — 496 с.
  46. Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии / Н. Г. Ван Кампен М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
  47. В.В., Полосков И. Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах. / В. В. Маланин, И. Е. Полосков М. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 296 с.
  48. К.В. Стохастические методы в естественных науках. / К.В. Гардинер-М.: Мир, 1986. -528 с.
  49. В.В. Об одном способе вычисления корреляционных характеристик марковских случайных процессов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. — Т. 9. — № 4. — С. 73−75.
  50. А.А., Малахов А. Н., Саичев А. И. Время корреляции и структура функции корреляции нелинейного равновесного броуновского движения в потенциальных ямах произвольной формы // Известия вузов. Радиофизика. 2000. — Т. 43. — № 4. — С.369−382.
  51. В.В., Телегин С. С. Численный анализ корреляционных характеристик броуновского движения в одномерных потенциальных ямах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2007. Т. 10. — № 1. — С. 60−65.
  52. B.C., Нейман А. Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JI. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / B.C. Анищенко, А. Б. Нейман, Ф. Мосс, JI. Шиманский-Гайер // УФН. 1999. — Т. 169. — Вып. 1. — С. 7−38.
  53. , В.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В. В. Зайцев, С. В. Давыденко, О. В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. — Т. 3. — N 2. — С. 64−67.к главе 2
  54. В.В., Зайцев О. В., Никулин В. В. Интегральные модели автоколебательных систем // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2006. — Т. 9. — N 1. — С. 53−57.
  55. В.В., Медведев В. И., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. / В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Пустель, В. Н. Парыгин М.: Наука, 1978. — 392 с.
  56. А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. /А.Н. Малахов М.: Наука, 1968. — 660 с.
  57. В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Том 2. / В. И. Крылов, В. В. Бобков М.: Наука, 1977. — 400 с.
  58. А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. 2-е изд. / А. Оппенгейм, Р. Шафер — М.: Техносфера, 2006. — 856 с.
  59. А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. / А. Н. Малахов -М.: Наука, 1978. —376 с.
  60. , А.Н. СВЧ-устройства, излучатели и ФАР на основе новых метаматериалов и структур / А. Н. Братчиков // Антенны. -2009. Вып. 1. — С. 3−72.
  61. , В.В. Динамическая модель активного электрического вибратора / В. В. Зайцев, А. В. Карлов // Вестник СамГУ. -2008. Вып. 8/2. -С. 230−240.
  62. , В.В. Модовая модель автогенератора на основе электрического вибратора /В.В. Зайцев, А. В. Карлов // Тезисы докладов VIII МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов». — СПб, 2009. С. 156.
  63. , Т. Нелинейные колебания в физических системах / Т. Хаяси. — М.: Мир, 1968.-432 с.
  64. В.В. Основы теории колебаний / В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин. М.: Наука, 1978. — 392 с.
  65. М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М. В. Капранов, В. Н. Кулешов, Г. Н. Уткин. М.: Наука, 1984. — 320 с.
  66. В.В., Телегин С. С. Стохастический резонанс в дискретной мультистабильной системе // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докл. VI Международной НТК. Казань: КГТУ, 2007. -С. 383−384.
  67. Ю.И. Стохастические и хаотические колебания / Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда. М.: Наука, 1987.
  68. Л.А. Разделение частот в теории колебаний и волн / Л. А. Вайнштейн, Д. Е. Вакман. М.: Наука, 1983. — 288с.
  69. А. Н. Флуктуации в автоколебательных системах / А. Н. Малахов. М.: Наука, 1968. — 660 с.
  70. О.В. моделирование дискретного осциллятора Ван дер Поля / О. В. Зайцев, Г. П. Яровой // Всероссийская конференция «Современные проблемы радиоэлектроники». Тезисы докладов. — Красноярск, 2001. С. 127.
  71. Мун Ф. Хаотические колебания. / Ф. Мун М.: Мир, 1990. — 312 с.
  72. В.В., Зайцев О. В., Телегин С. С. Стохастические колебания в бистабильном осцилляторе // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. Самара, 2006. — С.320−321.
  73. Н.Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1974. 504 с. к главе 3
  74. , В. Математическая теория борьбы за существование. / В. Вольтера М.: Наука, 1976. — 288 с.
  75. , А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. /
  76. A. Д. Базыкин М.: Институт компьютерных исследований, 2003. — 368 с.
  77. , Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях: Пер. с англ. /Дж. Мари М.: Мир, 1983. — 400 с.
  78. , В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. /В.П. Рубаник-М.: Наука, 1969.-288 с.
  79. , Ю.С. Математические модели экологии / Ю. С. Колесов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль: Изд. ЯрГУ, 1979.-С.З-40.
  80. , В.Г. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия / В. Г. Бабский, А. Д. Мышкис // В кн.: Мари, Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. — М.: Мир, 1983. 400 с.
  81. , О.В. Вероятностные характеристики системы хищник-жертва со случайно изменяющимися параметрами / О. В. Музучук // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1997. — Т.5. № 2. — С.80−86.
  82. , К.В. Стохастические методы в естественных науках. К. В. Гардинер М.: Мир, 1986.
  83. , Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с тклоняющимся аргументом / Л. Э. Эльсгольц, С. Б. Норкин — М.: Наука, 1971. 296 с.
  84. , В.В. Интегральные модели автоколебательных систем /
  85. B.В. Зайцев, О. В. Зайцев, В. В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. — Т. 9. — № 1. — С. 53−57.
  86. , Н.В. Колебания, волны, структуры / Н. В. Карлов, Н. А. Кириченко М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 496 е.
  87. , В.Н. Математическое моделирование в экологии /
  88. B. Н. Тутубалин, Ю. М. Барабашева, А. А. Григорян, Г. Н. Девяткова, Е. Г. Угер. М.: Языки славянских культур, 1999. — 208 с.
  89. Gilpin, М.Е. Do hares eat lynx? / M.E. Gilpin // American Naturalist 1973. -V. 107.-N957.-P. 727−730.
  90. , И.О. Статистическое моделирование как метод решения стохастических волновых задач / И. О. Ярощук // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник). -2005. Т. 4. — С. 2746.
  91. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика / Под ред. Г. Г. Малинецкого. — М.: Наука, 2000. 432 с.
  92. , Г. И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. / Г. И. Марчук— М.: Наука, 1991. — 304 с.
  93. , В.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В. В. Зайцев, С. В. Давыденко, О. В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. — Т. 3. — N 2. — С. 64−67.
  94. , В.В. ДВ-осцилляторы, порождаемые томсоновскими автоколебательными системами / В. В. Зайцев, О. В. Зайцев, А. В. Карлов, А. В. Карлов (мл) //Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2008.-Т. 11. -№ 4. С. 98−103.
  95. , А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер. — 2-е изд. М.: Техносфера, 2006. — 856 с.
  96. , В.В. Интегральная модель автоколебаний в системе хищник-жертва / В. В. Зайцев, С. С. Телегин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. — Т. 12. -N 2.
  97. Hall, C.A.S. An assessment of several of the historically most influential theoretical models used in ecology end of the data provided in their support /
  98. C.A.S. Hall // Ecological modeling. 1988. — V. 43. — P. 5−31. ^
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?