Алгоритмы решения задач независимого управления напряжениями и деформациями с помощью собственных деформаций

Заключение

100

Список использованной литературы.101

Создание интеллектуальных систем, способных адаптироваться к изменениям внешних условий, инновационные разработки, в области проектирования турбин* реактивных н ракетных двигателейядериых реакторов* конструкций-, работающих в" космосе, невозможны* без. знания-методов^вычислениями контролирования напряжённог деформированного состояния этих систем. Особенно важными для научно-технического прогрессшявляютсягзадачиуправления"напряжённо-деформированным состоянием:

Исследования в области проектирования интеллектуальных структур * являются* актуальными, в. современной инженерной, научнош литературе, в:-, связи* с этимпроисходит развитие теоретического фундамента для*- создания таких систем: Напримеримеет местом огромный, интерес квозможности! разработки телескопов иантенн: большого диаметра при жестких, ограничениях на. точность, поверхности: Одними из самых. важных проблем в этой областиявляются? разработка и изготовление основного зеркала телескопа, удерживающего геометрию" в установленных пределах. Аналогичноотражающая поверхность. микроволновых антенн должна поддерживаться в процессеэксплуатацииВ' достаточномалых: пределах, чтобы, удовлетворительно^ выполнять заданные функции*. Главными? факторами, нарушающими' форму, являются* постоянноменяющиеся градиент температуры и силоваянагрузка. Похожая^ проблема5, возникает приэксплуатации: элементов платформы и другихкак космических, .&rsquo-так и-наземных устройств. —:: : — .

Решением: таких комплексных проблем может служить, проектирование: интеллектуальных систем 11], которые могут адаптироваться к изменяющимся5внешнимвоздействиям путём — соответствующей корректировки своего напряжённого деформированного состояния: В качестве инструмента управления могут выступать температурные деформации, пьезоэлектрические деформации, деформации фазовых • переходов в материалах с эффектом памяти формы и др.

Первые фундаментальные постановки: задачуправления' в термоупругости при известном решении в напряжениях можно найти в монографиях [2, 3]. Наибольший интерес в них обращен к вопросу о нагреве, не создающем напряжений в теле. Мелан

Melan) и Паркус (.Parkus) пытались определить необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять искомое температурное поле. Однако удалось им это сделать лишь для незакрепленных односвязных тел простой геометрии, поскольку авторы пытались найти решение прямой задачи в напряжениях аналитически1 и по нему установить свойства температурного поля. В более поздней работе [3] была сделана попытка установить свойства искомой температуры из свойств уравнений задачи термоупругости и было получено необходимое условие отсутствия температурных напряжений, но вновь в свободных телах. Рассматривалась классическая постановка, задачи несвязанной термоупругости: В других работах по термоупругости имеются лишь замечания по отсутствию напряжений в результате нагрева. В4 более поздних исследованиях теоретические изыскания в этой области продолжили Иршик (Irschik) и Циглер (Ziegler), получившие в своей работе [4] необходимое условие для температурного поля, не создающего напряжений в более общем случае. Итоги этих «исследований приведены в работах [5, 6].

Задачи достижения ненулевых напряжений в теле рассматривались в работах [7, 8]. Для решения таких проблем многие авторы вводят в решение интегральный функционал как целевую функцию (так называемый представительный индекс проблемы оптимального управления) и далее используются дифференциальные методы нелинейной оптимизации [2, 1,9, 10−13].

Вопросы управления деформациями вызвали больший интерес со стороны исследователей, поскольку данная тема вплотную примыкает к задачам проектирования. Действительно, поиск параметров модели по известным деформациям может вестись в направлении подбора свойств, материала, геометрии, топологии или в направлении определения оптимальных температурных воздействий [14, 15].

Управление напряжённо-деформированным состоянием посредством пьезоэлектрических деформаций в интеллектуальных структурах представляет собой-широкий круг исследований. Основными элементами в этих конструкциях являются пьезоэлектрические актюаторы и сенсоры, адаптирующие структуру к внешним воздействиям (например, изменениям температуры окружающей среды). Первые труды по изучению конструкций с пьезоэлементами посвящены управлению деформациями балок. В задачах, рассматриваемых авторами этих работ, минимизируются поперечные перемещения классических (эйлеровых) балок. Так, в работе Бэйли (.Bailey) производится оптимизация эффективных сил и моментов, возникающих припьезоэлектрических деформациях в консольно-закрепленной колеблющейся балке [16]. Позднее, в трудах Краули (Crawley) разрабатывается аналитическая модель для решения задач минимизации поперечных перемещений статически-нагруженных консолей. Предложенный автором метод позволяет предсказать оптимальное электрическое напряжение, подводимое к пьезоэлементам, а также необходимое место их расположения для балок, состоящих из различных материалов [17]. Дальнейшее развитие «пьезоуправления» приводит к изучению гашения вибраций композитных балок [18]. В работе [19] рассматриваются балочные конструкции, содержащие пьезокерамические слои на обеих поверхностях. Выводятся соотношения для вычисления эффективных усилий в этих слоях, необходимые при управлении деформациями таких конструкций. Представленная в работе модель, в дополнение к изгибающим моментам, позволяет учитывать ранее не рассматриваемые факторы, а именно, действие осевых и поперечных сил.

Многочисленные труды посвящены исследованию влияний пьезоэлектрических элементов на напряжённо-деформированное состояние пластин и оболочек. Фундаментальными в этой области являются работы Ли (Lee) [20,21], который впервые ввёл соотношения между электрическими и упругими величинами для пластин, подверженных различным видам нагружения (изгиб, кручение, растяжение-сжатие, сдвиг). Электромеханическая связь в адаптивных пьезоэлектрических оболочках рассмотрена в работе [22]. Хейлигером (Heyliger) и Сараваносом (Saravanos) развиты конечно-элементные модели для анализа НДС многослойных пластин и оболочек, содержащих пьезоэлектрические слои. Получены соотношения для определения электростатического потенциала в каждом из слоёв при статическом нагружении, а также при свободных колебаниях указанных систем [23,24]. Показана возможность воздействия на деформации и механические напряжения исследуемых структур.

Наибольшим потенциалом обладают исследования в области термопьезоэлектричества. Оболочки летательных и космических аппаратов, сооружения подвергающиеся перепадам температур испытывают существенные температурные нагрузки. В связи с этим, проектирование и внедрение «разумных структур» позволит избавится от нежелательных термических эффектов. .

Первые исследования влияния температурных полей на деформации пластин с пьезоэлектрическими слоями принадлежат Таучерту (Ta.uch.ert) [25]. При помощи численных расчётов, им было показано, что приложение электрического поля к слоям, содержащим пьезоэлектрический материал, позволяет существенно снизить уровень температурных деформаций пластин. В трудах Цзу (Тгои) показывается возможность управления температурными деформациями/напряжениями, а также механическими нагрузками в многослойных оболочках [26]. Управление производится посредством сил и моментов, которые возникают в пьезоэлектрической мембране. Этим же автором развита трёхмерная конечно-элементная модель для расчёта механических напряжений и деформаций в термически нагруженных многослойных пьезоэлектрических пластинах. Выведены соотношения для управления температурными воздействиями в данных системах [27]. Развитию исследований в области термопьезоэлектричества посвящена обзорная статья [28].

Более поздние публикации ориентированы на прикладные задачи. К примеру, в статьях [29,30] рассмотрены проблемы управления деформациями параболических антенн и конических секций ракет. Для поставленных задач найдены аналитические зависимости между необходимыми усилиями в пьезоэлектрических вставках и требуемым полем перемещений.

Основные результаты, достигнутые в истории создания и исследования моделей пьезоуправления, описаны в работе [31].

Большинство исследований в области эффекта памяти формы направлены на создание и совершенствование математических моделей описывающих процессы, происходящие при фазовых превращениях в материалах обладающих этим эффектом. Обзор существующих моделей приведён в работе [32]. Положительные результаты, достигнутые в этом направлении, определяют возрастающий интерес исследователей к изучению задач, связанных с практическим применением материалов с эффектом памяти формы в интеллектуальных структурах. Такими задачами являются увеличение жёсткости конструкций [33−36] и управление формой структур (композиционных оболочек, мембран и т. д.) [37−40]. Первый тип задач основан на управлении напряжениями в системе посредством деформаций фазовых переходов, создаваемых в элементах этой системы, обладающих эффектом памяти формы, второй — на управлении полными деформациями с помощью аналогичных воздействий.

Управление ростовыми деформациями актуально при лечении различных патологий у детей и взрослых. К примеру, в работе [41] оптимизирована процедура лечения расщелины твердого нёба у детей. Дано биомеханическое обоснование новой методики лечения, которая позволяет избежать операции по установке носовой корректировочной пластинки. Процессы роста и рассасывания костной ткани также ' можно понимать под ростовыми деформациями. Показано, что костная ткань обладает пьезоэлектрическими свойствами [42−44] и что есть возможность оказывать влияние на процессы перестройки костной ткани [45] и сращивания переломов.

С развитием исследований в указанных областях, было замечено, что все перечисленные виды деформаций имеют ряд общих особенностей, которые не зависят от природы их возникновения и в современной науке носят названиесобственных деформаций (eigenstrain).

Термин «собственные деформации» впервые ввел Рейснер (Reissner) в 1931 году [46]. Под этим термином он понимал неупругие деформации, соответствующие самоуравновешенным остаточным напряжениям. В 1991 году Мура (Мига) [47] предложил более общее определение собственной деформации, принятое в современной научной литературе. В рамках геометрически линейной теории это есть неупругие деформации любой природы. В этой же работе Мура предложил понятие собственной деформации, свободной от напряжений, т. е. собственной деформации, не вызывающей напряжений в системе. Позже в 2001 году Иршик (Irschik) и Циглер (Ziegler) [48] ввели понятие собственной деформации, свободной от полных деформаций, т. е. не создающей полной деформации в любой точке системы.

В рамках единого подхода к изучению свойств различных видов неупругих деформаций, объединяемых под термином «собственные деформации», в работах венских и пермских ученых [48,49] предложены новые классы задач управления: 1) независимое управление напряжениями и 2) независимое управление полными деформациями. Первая задача подразумевает создание в теле заданного поля напряжений за счет собственной деформации, сохраняя деформацию системы, а вторая задача — создание заданных полных деформаций системы, не меняя напряжений. Задачи независимого управления напряжениями могут возникнуть в исследованиях, когда при жёстких ограничениях, наложенных на геометрию конструкции, необходимо увеличить её жёсткость посредством наведения в этих конструкциях дополнительных напряжений с помощью собственных деформаций. Задачи независимого управления полными деформациями, как уже отмечалось ранее, могут быть актуальными при разработке размеростабильных зеркал телескопов и антенн, в которых помимо управления конфигурацией при постоянно меняющихся внешних воздействиях требуется сохранять напряжённое состояние. Такие задачи могут быть актуальными также и в медицине, когда в роли собственных деформаций выступают ростовые деформации. Это особенно важно для молодых пациентов, где процессы роста проходят с большей интенсивностью. Целенаправленное управление ростовыми процессами у детей позволит исправлять патологии развития, такие как сколиоз, расщелина твердого нёба, сращивание переломов и т. д. В этих задачах особенно важно, чтобы ростовые деформации не вызывали напряжений.

Для изучения предложенных классов задач этими учёными был использован один из подходов к решению вопросов управления остаточными напряжениями при термоупругопластичности [50], основанный на применении метода ортогонального разложения гильбертовых пространств в задачах механики [51−54]. Исследования в данном направлении приводят к новому фундаментальному результату — доказательству теоремы о декомпозиции собственной деформации [49]. Данная теорема утверждает, что любую собственную деформацию, существующую в теле, можно разложить на две составляющие: свободную от напряжений (т.е. не вызывающую напряжений в этом теле) и свободную от полных деформаций (не вызывающую полных деформаций в теле). Таким образом, теорема о декомпозиции является основным инструментом при решении задач независимого управления напряжениями и деформациями.

Однако для решения прикладных проблем, с использованием теоремы о декомпозиции необходима разработка численных алгоритмов решения задач независимого управления и их реализаций в виде комплексов проблемноориентированных программ. Необходимо также развитие методов исследования ограничений, налагаемых природой собственной деформации или технологическими особенностями изготовления рассматриваемых конструкций. Поэтому выполнение описанных работ является актуальным и позволит эффективно применять теорему о декомпозиции для решения задач независимого управления напряжённодеформированного состояния рассматриваемых систем.

Исходя из сказанного, в данной работе ставятся следующие задачи:

• исследование общих свойств систем с собственными деформациями в сплошных телах и дискретизированных системах;

• разработка процедур поиска базисных элементов в подпространствах собственных деформаций;

• формулировка математических соотношений для учёта ограничений, налагаемых на распределение собственных деформаций в системе;

• разработка эффективных численных алгоритмов для решения задач независимого управления напряжениями и полными деформациями с помощью базисов различных подпространств собственных деформаций;

• тестирование разработанных вычислительных методов на ряде задач механики с применением современных компьютерных технологий;

• реализация разработанных эффективных численных алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по независимому управлению напряжениями и деформациями.

В первой главе рассматривается подход к исследованию свойств собственных деформаций, основанный на понятиях функционального анализа в гильбертовых пространствах. Приводятся дифференциальная и обобщённая постановки краевых задач теории упругости с собственными деформациями, а также теорема о декомпозиции собственной деформации.

Вторая глава посвящена алгоритмам нахождения базисных элементов функциональных подпространств собственных деформаций в дискретизированных системах. Построение базиса подпространства собственных деформаций, свободных от напряжений, осуществляется с использованием теоремы доказанной в работе [Кирюхин]. Построение базиса в подпространстве собственных деформаций, свободных от полных деформаций, происходит с помощью непосредственного использования условия принадлежности собственной деформаций этому подпространству.

В третьей главе представлены численные алгоритмы решения задач независимого управления напряжениями и деформациями с помощью собственных деформаций. Для этого вначале главы рассматривается соотношение, учитывающее ограничения, налагаемые на распределение собственных деформаций. Формулируется теорема существования для задачи независимого управления напряжениями и независимого управления деформациями.

В четвёртой главе, в целях демонстрации работы алгоритма независимого управления напряжениями, решается задача об управлении напряжениями во вращающемся диске, подверженном неравномерному нагреву. В качестве собственных деформаций выбираются деформации фазовых переходов в материалах с эффектом памяти формы. V

1. Srinivasan А. К, Mcfarland D.M. Smart Structures: Analysis and Design. Cambridge University Press, 2001.

2. Parkus H. Thermo elasticity. 2nd ed., Vienna, New York, Springer-Verlag, 1976.

3. Мелан Э., Парку с Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. — М.: ФМГИЗ, 1958.

4. IrschikH., Heuer R., Ziegler Z. Static shape control of redundant beams and trusses by thermal strains without stress // Proceedings of the Second International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. Rochester. — 1997.

5. Irschik H. A review on static and dynamic shape control of structures bypiezoelectric actuation // Engineering Structures. — Vol. 24, 2002. — P. 5−11.

6. Ziegler F. Eigenstrain controlled deformationand stress state // European Journal of Mechanics. A/Solids. — Vol. 23, 2004. — P. 1- 13.

7. NodaN. Optimal heating problem for transient thermal stress in a thick plate // Journal of Thermal Stresses. —Vol. 11, 1988. —P. 141−150.

8. Meric R.A. Finite element analysis of optimal heating of a slab with temperaturedependent thermal conductivity // Int. Journal of Heat Mass Transfer. —Vol. 22,1979.—P. 1347−1353.

9. ZieglerF., IrschikH. Thermal stress analysis based on Maysel’s formula // Proceedings of the Second International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. Rochester. —1997. — P. 120−188.

10. Cialkowski M.J., Grysa K.W. On a Certain Inverse Problem of Temperature and Thermal Stress Fields // Acta Mechanica. — Vol. 36, 1980.—P. 169−185.

11. Meric R.A. Coupled Optimization in Steady-State Thermoelasticity // Journal of Thermal Stresses. —Vol. 8, 1985. — P. 333−347.

12. Григолюк Е. И., Подстрпгач Я. С., Бурак Я. И.. Оптимизация нагрева оболочек и пластин. — Киев: Наукова Думка, 1979.

13. Шаблий О. Н., Зарецкий В. И. Оптимальное управление напряженно-деформированного состояния в дисках // Прикладная механика. — Том 17, № 8, 1981.—с. 755−759.

14. Austin F., Rossi M.J., Nostrand W., Knowles K., Jameson A. Static shape control for adaptive wings // AIAA Journal. — Vol. 32, No. 9, 1994. — P. 1895−1901.

15. Bailey T., Hubbard J. Distributed piezoelectric-polymer active vibration control of cantilever beam // Journal Guidance Control Dyn. — Vol. 8, 1985. — P. 605−611.

16. Crawley E., de Luis J. Use of piezoelectric actuators as elements of intelligent structures // AIAA Journal. — Vol. 25, No. 10, 1987. — P. 1373−1385.

17. Baz A., Poh S. Performance of active control system with piezoelectric actuators // Journal Sound Vib. — Vol. 126, No. 2, 1988. — P. 327−343.

18. Im S., Atluri S.N. Effects of a piezo-actuator on a finitely deformed beam subject to general loading I I AIAA Journal. — Vol. 27, No. 17, 1989. — P. 1801−1807.

19. Lee C-K. and Moon F. C. Laminated piezopolymer plates for torsion and bending sensors and actuators // Journal Acoust Soc Am. — Vol. 85,. 1989. — P. 2432−2439.

20. Lee C-K. Theory of laminated piezoelectric plates for the design of distributed sensors/actuators. Part I: Governing equations and reciprocal relationships // Journal Acoust Soc Am.—Vol. 87, 1990. —P. 1144−1158.

21. Tzou H., Zhong J. Adaptive piezoelectric shell structures: theory and experiments // Mechanical Systems and Signal Processing. — Vol. 4, 1993. —P. 307−319.

22. Heyliger P., Ramirez G., Saravanos D. Coupled discrete layer finite-element models for laminated piezoelectric plates // Commun Numer Methods Eng. — Vol. 10, 1994. —P. 971−981.

23. Heyliger P., Pei K, Saravanos D. Layerwise mechanics and finite element model for laminated piezoelectric shells // AIAA Journal. — Vol. 34, No. 11, 1996. — P. 2353−2360.

24. Tauchert T. Piezothermoeiastic behavior of a laminated plate // Journal Thermal Stresses. —Vol. 15, No. 1, 1992. — P. 25−37.

25. Tzou H., Howard R. A piezothermoeiastic thin shell theory applied to active structures // Journal Vib Acoust. — Vol. 116, No. 3, 1994, — P. 295−302.

26. Tzou H., Ye R. Piezothermoelasticity and precision control of piezoelectric systems: Theory and finite element analysis // Journal Vib Acoust. — Vol. 116, No. 4, 1994. — P. 489−495.

27. Tauchert Т., Ashida R, Noda N., Adali S., Verijenko V. Developments in thermopiezoelasticity with relevance to smart composite structures // Composite Structures. —Vol. 48, 2000. —P. 31−45.

28. Yue H., Deng Z., Tzou H. Optimal actuator locations and precision micro-controlactions on free paraboloidal membrane shells // Commun Nonlinear Sci Numer Simul. — Vol. 304, No. 3−5, 2007. — P 625−639. '

29. Chai W., Han Y., Higushi K., Tzou H. Micro-actuation characteristics of rocket conical shell sections // Journal Sound Vib. — Vol. 293, 2006. — P. 286−298.

30. Irschik H. A review on static and dynamic shape control of structures by piezoelectric actuation // Engineering Structures. — Vol. 24,2002. — P. 5−11.

31. Лохов B.A., Няшин Ю. И., Кучумов А. Г. Сплавы с памятью формы: применение в медицине. Обзор моделей, описывающих их поведение // Российский журнал биомеханики. — Том 11, № 1, 2007. — с. 9−27.

32. Ostachowicz W., Krawczuk М., Zak A. Dynamics and buckling of a multilayer composite plate with embedded SMA wires // Composite Structures. — Vol. 48, No. 1−3,2000. —P. 163−167.

33. Raghavan J., Bartkiewicz Т., Boyko S. Damping, tensile, and impact properties of superelastic shape memory alloy (SMA) fiber-reinforced polymer composites // Composites Part B: Engineering. — Vol. 41, No. 3,2010. — P. 214−222.

34. Lee H.J., Lee J.J., Huh J.S. A simulation study on the thermal buckling behavior of laminated composite shells with embedded shape memory alloy (SMA) wires // Composite Structures. —Vol. 47, No. 1−4, 1999. —P. 463−469.

35. Zheng Y.J., Cui L.S., Schrooten J. Basic design guidelines for SMA/epoxy smartcomposites // Materials Science and Engineering: A. — Vol. 390, No. 1−2, 2005. — P. 139−143. •

36. Yang K., Gu C.L. Modelling, simulation and experiments of novel planar bending embedded SMA actuators // Mechatronics. — Vol. 18, No. 7, 2008, — P. 323−329.

37. Shameli E., Alasty A., Salaarieh H. Stability analysis and nonlinear control of a miniature shape memory alloy actuator for precise applications // Mechatronics. — Vol. 15, No. 4, 2005. — P. 471−486.

38. Romano R., Tannuri E.A. Modeling, control and experimental validation of a novel actuator based on shape memory alloys // Mechatronics. — Vol. 19, No. 7, 2009. — P. 1169−1177.

39. Choi S., Lee J.J., Seo D.C., Choi S.W. The active buckling control of laminated composite beams with embedded shape memory alloy wires // Composite Structures. —Vol. 47, No. 1−4, 1999. —P. 679−686.

40. Fukada E., Yasuda I. On the piezoelectric effect of bone // Journal of the Physical Society of Japan.—Vol. 12, No. 10, 1957. —P. 1158−1162.

41. Fukada E., Yasuda I. Piezoelectric effects in collagen // Japanese Journal of Applied Physics.—Vol. 3, No. 2, 1964,—P. 117−121.

42. Shamos М. H., Lavine L. S. Piezoelectricity as a fundamental property of biological tissues //Nature. —1967. —P. 267−269.

43. GjelsvikA. Bone remodeling and piezoelectricity -111 Journal of Biomechanics. — Vol. 6, 1973 —P. 69−77.

44. Reissner H. Eigenspannungen und Eigenspannungsquellen'// ZAMM. — Vol. 11, 1931. —P.l-8.

45. Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. Martinus Nijhoff, Dordrecht, 1987.

46. IrschikH., Ziegler F. Eigenstrain without stress and static shape control of structures // AIAA Journal. — Vol. 39, No. 10,2001. — P. 1985;1990.

47. Nyashin Y, Lokhov V, Ziegler F. Decomposition method in linear elastic problems with eigenstrain // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. — Vol. 85, No. 8. 2005. — P. 557−570.

48. Поздеев A.A., Нягиин. Ю. И, Трусов П. В. Остаточные напряжения: теория и приложения. — М.: Наука, 1982.

49. Zaremba S. Sur le principle de’minimum // Bull, intern. l’Acad. d. Sciences de Cracovie. Cl. des sciences math, et natur. —No. 7, 1909. —P. 197−204.

50. Михлш С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1979.

51. Rafalski P. Orthogonal projection method. II. Thermoelastic problem // Bulletin de l’Academie Polonaise des Sciences. Serie des sciences techniques. — Vol. 17, No 2, 1969. —P. 69−74.

52. Соколов А. Г, Стружанов B.B. Об одной задаче оптимизации напряженного состояния в упругом теле // Прикладная математика и механика. — Т. 65, № 2. —С. 317−322.

53. Nyashin, Y.I., Kiryukhin, VY Biological stresses in living tissues. The modeling and control problems // Russian Journal of Biomechanics. •—¦ Vol. 6, No. 3, 2002.P. 13−31.

54. Треногин B.A. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002.

55. Колмогоров А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

56. Дюво Г., Лионе Х-Л. Неравенства в механике и физике. —М.: Наука, 1980.

57. Nyashin Y., Lokhov V., Ziegler F. Stress-free displacement control of structures // Acta Mechanica. — Vol. 175, 2005. — P. 45−56.

58. Yosida K. Functional Analysis. Springer Verlag, New York, 1965.

59. Lokhov V, Nyashin Y., Kiryukhin V, Ziegler F. Theorem of stress-free eigenstrain and Duhamel’s analogy // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. -Vol. 36, No. 3,2006. —P. 35−46.

60. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике // Под ред. Б. Е. Победри. — М.: Мир, 1971.

61. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.

62. Калин Б. А. Физическое материаловедение. — М: МИФИ, 2007.

63. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультраакустике // Под ред. А. В. Шубникова. — М.: Иностранная литература, 1952.

64. Демидов С. П. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1979.

65. Farrahi G.H. Reconstruction of residual stresses in autofrettaged thick walled tubes from limited measurements // International Journal of Pressure Vessels and Piping. — Vol. 89,2009. — P. 777−784.

66. Работное Ю. H. Механика деформируемого твердого тела — М.: Наука, 1988.

67. Ziegler F. Mechanics of Solids and Fluids, 2nd ed., New York, Springer, 1995 (Русский перевод: Циглер Ф. Механика твердых тел и жидкостей. — МоскваИжевск: РХД, 2002).

68. Cube la D. The research of technological parameters influence on the process of nitinol fabrication and plastic deformation // Metalurgija. — Vol. 45, No. 1, 2006.—P. 61−66.

69. Nyashin Y., Shishlyaev V. Analytic creep durability of rotating uniform disks // International Journal of Rotating Machinery. — Vol. 4, No. 4, 1998 P. 249−256.

70. Лесин B.B., Лисовец Ю. П. Основы методов оптимизации. — М: МАИ, 1995.

71. МовчанА.А. Микромеханические определяющие уравнения для сплавов с памятью формы // Проблемы машиностроения и надежности машин. — № 6, 1994. —С. 47−53.