О приближении многомерных объектов одномерными

Проблематика данной работы тесно примыкает с одной стороны к общей спектральной теории дифференциальных операторов на так называемых геометрических графах (Г. Люмер, Ю. В. Покорный, Б. С. Павлов и др.). С другой стороны имеется связь с теорией усреднения дифференциальных операторов на сингулярных структурах (В.В. Жиков, С. А. Назаров и др.), выросшей, в свою очередь, из теории усреднения в перфорированных областях (В.В. Жиков, С. М. Козлов, О. А. Олейник, Э. Санчес-Паленсия и др.).

Конкретно, в работе изучается низкочастотная часть спектра частот собственных колебаний сетки из струн, закрепленной на границе некоторой области и достаточно густо заполняющей эту область. К настоящему времени в решении подобных задач конкурируют два основных подхода. С одной стороны это метод усреднения, точнее его вариант недавно разработанный В. В. Жиковым, и метод асимптотических разложений. Следует заметить, что метод усреднения применялся исключительно к периодическим механическим системам. Более того, именно для таких систем он и разрабатывался. В конечном итоге он обеспечивает достаточно простое описание решений краевых задач, связанных с упомянутыми системами в терминах их близости к решениям аналогичных усредненных задач в классических областях. Метод асимптотических разложений более автономен (задача изучается вне ее связи с какой-либо усредненной задачей) и не предполагает наличие какой-либо периодичности. Однако, описание решения в достаточно сложных (непериодических) случаях получается трудно обозримым, в особенности когда речь идет о низкочастотной части спектра колебаний упомянутых систем.

В связи с этим представляется актуальным сохранив преимущества метода усреднения распространить его на непериодический случай. В общем объеме эта задача представляется сложной и вряд ли следует ожидать ее быстрого решения. Однако, для задачи, рассматриваемой в данной работе удалось получить продвижение в этом направлении на основе техники, близкой к разработанной Г. М. Вайникко в 70-х годах и относящейся к изучению сходимости проекционных методов (метод Га-леркина, Ритца и др.). В итоге нами найдены достаточно естественные физические условия при которых низкочастотная часть спектра сетки из струн, достаточно густо заполняющей область П С й" близка к аналогичной части спектра некоторого упругого континуума (при п = 2 мембраны), заполняющего ту же область. Ранее подобные результаты получались только для случая периодических систем.

Ключевые моменты этой работы, отличающие ее от работ, близких по тематике выделим в следующие несколько пунктов:

1 Показано, что низкочастотная часть спектра периодической сетки из однородных струн сходится к соответствующей части спектра однородной мембраны вместе с кратностями.

2 Найдены естественные физические условия близости спектров непериодических сеток из струн и спектра мембраны, заполняющих одну и ту же область.

Теперь перейдем к краткому описанию полученных результатов по главам этой работы.

В целом, в первой главе изучается спектр периодической сетки из струн с квадратными ячейками, заполняющей некоторую область в FC1.

Пункт 1.1 посвящен постановке задачи. Пусть в Rn натянута сетка Гл, состоящая из струн 7-, связанных между собой в виде графа с квадратными ячейками и «заполняющая» некоторую область ?1 с кусочно гладкой границей. Предполагается, что сетка закреплена в узлах — их множество обозначим через дГ^, лежащих в д£1. Множество остальных узлов обозначим через J (Th) и будем называть внутренними вершинами графа Гд. Математической моделью собственных колебаний описанной сетки является следующий набор соотношений:

Thu" (x) + hphu (x) = 0, х е ji (0.1).

Oh ui (x) + *hrnhu (x) = 0, X = dj e J (Th).

Ш (х) u (x) = 0, x = a, j G dTh.

0.2).

0.3).

Здесь дифференцирование производится по натуральному параметру на каждом ребре. В уравнении (0.2) под и[{х) понимается производная по направлению «от вершины» a, j. Через I (a, j) обозначается множество номеров ребер, примыкающих к a, j. Величины <т/", рь равны соответственно натяжению струны и ее плотности, а ть — величина массы, сосредоточенной в узле a, j. Предполагается, что сгь, ph постоянны, и на всех стру нах одинаковы. Также предполагается, что тн во всех узлах одинаковы. Рассматриваемые функции и: Гд —У R непрерывны во всех внутренних узлах.

Нас будет интересовать, при каких коэффициентах спектр данной задачи близок к спектру мембраны, описываемой системой уравнений.

Здесь р (= const) — плотность распределения масс и сг (= const) — натяжение мембраны.

В пункте 1.2 приводятся некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений на геометрических графах.

В пункте 1.3 задача (0.1)-(0.3) сводится к задаче о спектре некоторого алгебраического графа. Откуда получается такое утверждение.

ТЕОРЕМА 1. Спектр Ah задачи (ОЛ)-(О.З) совпадает с объединением множества корней следующих уравнений jAu + Л ри = 0.

0.4) вп = 0.

0.5).

0.6).

G — р/| = 0,.

0.7) где Nc — количество ребер в графе Th, Nv — количество внутренних вершин в том же графе, р = 2ncos (hlk*>h) — rrih^h sin (h[h*>h).

V (Th V Ph&h V (Th a G — матрица смежности алгебраического графа, полученного из Th выбрасыванием граничных вершин (аа Е дГл) и ребер, к ним примыкающих.

Пункт 1.4 посвящен изучению частного случая задачи (0.1)—(0.3). А именно случаю, когда область О, € является гиперкубом со стороной длины I. Следующее утверждение позволяет получить полное описание спектра в этом случае.

ТЕОРЕМА 2. Спектр Л&задачи (ОЛ)-(О.З) с учетом уточнения в начале пункта 1.4 совпадает с объединением множества корней следующих уравнений sin (/iA/v^) = 0, (0.8).

V (Th.

2 Т cos Ai) = 2n cos (h. xA) — mhJ-^~ sin (h.fxA), (0.9) I (Th у Ph.

A = 1, N-1) где I — длина ребра гиперкуба, a N = - целое число, an — размерность h гиперкуба.

Замечание 0.1. Решения уравнения (0.8) имеют кратность (N — l) n-(n-l)N + l). п.

Решения уравнений (0.9) при фиксированной сумме У^ Д? сливаются i=l при h —У 0, что опять же определяет кратность общего решения как точки спектра. Из (0.8) видно, что решения Ад этого уравнения при малых h как угодно далеки от нуля. Поэтому «начало спектра» Ад сетки Th определяется уравнениями (0.9).

W *6 z- (01°).

В пункте 1.4.3 в явном виде выписывается спектр исследуемой задачи в случае, когда т^ = 0, т. е. загрузка массами в узлах сетки отсутствует, а именно.

Xhk= ± arccos (— V cos (~0i)) + 2як.

71 I t=l.

В пункте 1.4.4 рассматривается общий случай ненулевых тh. При этом приводится асимптотическая по h формула для собственных значений: тЙ^ + оС" 2) — С-11).

Легко видеть, что выражение в правой части (0.11) в точности совпадает со спектром задачи (0.4), (0.5) в случае, когда Q = [0, I] х • • • х [0,I]. Т. е. в рассматриваемом нами случае.

Ал = A + 0(/i2).

В пункте 1.5 рассматривается случай произвольной области с кусочно гладкой границей. Основным утверждением этого пункта является следующая.

ТЕОРЕМА 3. Спектр Л/, задачи (ОЛ)-(О.З) совпадает с объединением множества корней следующих уравнений.

I—— nc-Nv sm (hJh^)j =0, (0.12).

2 п — ЛА2 = 2n cos — mhJ-^- sin (0.13).

0 (?h у Ph (Th V cr/t где Nc — количество ребер в графе Гд, Nv — количество внутренних вершин в том же графе, а спробегает спектр Лс дискретизированного (по сетке Th) варианта задачи (0.4), (0.5).

Используя теорему (3) мы получаем следующий результат:

ТЕОРЕМА 4. 1. Для любого A G Л существует последовательность {Ал: Ад 6 Лл} такая, что, А л —>¦ А, причем, А = Ал + 0(h2).

2. Если, А л А, Ал € Лл, |А| < оо mo, А е Л, причем, А = Ал 4- 0(h2).

Во второй главе рассматривается непериодическая сетка из струн с переменными коэффициентами.

Пункт 2.1 посвящен постановке задачи. Пусть С R2 — ограниченная область. Пусть далее задана конечная совокупность точек щ € П. Через Г обозначим связный геометрический граф, имеющий щ своими вершинами. Вершины, лежащие в Г = Г П Г2 назовем внутренними и их совокупность обозначим J{Y). Остальные вершины (т.е. лежащие в dQ) будем называть граничными вершинами графа Г и их совокупность обозначим дТ. Ребра графа Г, обозначаемые далее через упредполагаются прямолинейными интервалами, соединяющими некоторые вершины.

Задача о спектре частот собственных колебаний сетки из струн описывается следующим набором дифференциальных соотношений: ъи')'(х) + Apiu (x) = О, х G л С Г, (0.14).

Пи’ъ (аз) + = 0, aj е *7(Г), (0.15) u (afc) = 0, ак? дГ. (0.16).

Здесь <7j — натяжение, pi — плотность струны у£, rrij = m (a, j) — точечная масса в узле aj.

Задаче (0.14)-(0.16) удобно придать «классический» вид, подчеркивающий ее аналогию с задачей о спектре частот собственных колебаний мембраны:

V (.

С этой целью определим на Г меру р, договорившись мерой р (Г) фрагмента Г С Г считать сумму р (Г) = ]Г ^(Г П 7,) + ?><,(? П щ), (0.17).

7<

Определим оператор дивергенции V^ на векторном поле, касательном к Г. Можно показать, что.

VF (x) = <

F'(x), хе уi.

Е F Ы, ajejp). iel (aj).

Векторные поля, для которых существует дивергенция естественно назвать гладкими. Задача (0.14)-(0.16) может быть представлена в виде.

А^и + и = iv (trVu) + и = 0, (0.18) и 0, (0.19) аг v '.

Здесь через р обозначена функция на Г, равная pi на 7* и равная m (a, j) в вершинах a, j. Она предполагается непрерывной на каждом 7, — (множество таких функций обозначается С7(Г)) и положительной. В уравнении (0.18) поле aVu должно быть гладким (чтобы выражение V/t (crVn) имело смысл). Для этого достаточно потребовать, чтобы <т допускала продолжение по непрерывности во внутренние вершины вдоль каждого ребра и была непрерывно дифференцируемой внутри каждого ребра. Легко заметить, что значения, а в вершинах не используются в уравнении (0.18). Для определенности можно считать a{a.j) = 0. Внутри каждого ребра о предполагается строго положительной (а > а > 0).

Мы будем рассматривать последовательность сеток Г*. Обозначим через Н (Гк) максимум длин ребер, входящих в Г*. Данная последовательность Гл порождает семейство задач Штурма — Лиувилля:

— p-V (akVu) + Хи = 0, (0.20) 0. (0.21) и дгк.

В предположении, что дТк С дО, и /г,(Г*) 0 (к —> оо), нас будет интересовать вопрос о сходимости спектра, А к задачи (0.20),(0.21) к спектру.

Ло задачи iv (.

U{)u = (А — 1) и = 0, (0.24) где U (Л) — линейный ограниченный оператор, действующий из банахова пространства Е в банахово пространство F (разумеется Е должно быть вложено в F). Наряду с задачей (0.24) рассмотрим последовательность задач вида.

Uk{X)uk = СА* - Л/К = 0, (0.25) где оператор Uk (X) действует из банахова пространства Ек в банахово пространство Fk. При определенных условиях задачу (0.25) можно считать близкой задаче (0.24). Один из вариантов описания такой близости состоит в задании диаграммы вида.

Е F.

Л 1″ .

EkmFk в которой {рк} - семейство так называемых связывающих операторов, позволяющих придать смысл сходимости (р-сходимости) последовательности {и*} (ujfc G Ек) к элементу и € Е мы пишем щ —^ и, если — PkV>\Ek —>• 0 при к —)> оо. От операторов требуется выполнения следующих двух условий.

• Рк~ аддитивный и однородный оператор;

• Ibik^lUk —* |Н|# при к оо при любом и 6 Е.

Аналогично, с помощью семейства {<&}, определяется^{-сходимость} последовательности Vk Е Fk к v? F. Теперь можно определить понятие так называемой до-сходимости семейства операторов (А) к оператору U (А). А именно, мы пишем Uk () U (), если из р-сходимости к и последовательности {г**} следует g-сходимость к U (X)u последовательности {Uk ()uk}. Иными словами:

IK — рки\Ек 0 => - qkU{)u\Fk 0 (0.26).

Сама по себе до-сходимость мало что даетдля приложений требуются дальнейшие ее уточнения. Для наших целей важную роль будет играть так называемая устойчивая сходимость семейства {£/*(А)} к U{). Это, помимо до-сходимости, предполагает обратимость всех операторов Uk (А) и ограниченность в совокупности норм операторов С/^" 1(Л) (резольвент операторов Ак) начиная с некоторого номера. Разумеется об устойчивой сходимости можно говорить лишь при А, принадлежащих всем резольвентным множествам^Я (Ак) операторов Ак, начиная с некоторого номера (своего для каждого А). Мы потребуем устойчивой сходимости последовательности Uk (А) к U (А) при всех A G 91(Л).

Устойчивая сходимость при некоторых дополнительных требованиях на операторы ?/*(А),?7(А) обеспечивает близость (в указанном выше смысле) спектра Ак оператора Uk (X) к спектру Ло оператора U (А). А именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 0.1 Пусть, А и Ак фредгольмовы с нулевым индексом и на любом компакте К € С при всех к? N имеет место неравенство ты\ик ()\<�С = С{К),.

Тогда, если последовательность Uk (X) устойчиво сходится к U (А) при X е ЩА), то At Ло.

Нами будет использоваться ослабленный вариант pg-сходимости. А именно, вместо (0.26) будем требовать выполнения условия uk-Pku\Ek \Uk (X)uk\Fk (0.27).

Это избавит нас от необходимости вводить связывающие операторы qk: F Fk. Рассуждения, проведенные выше справедливы и в случае такой сходимости. Следует отметить, что именно это ослабление pg-сходи мости лишает нас возможности обсуждать близость собственных функций.

В пункте 2.4 описываются условия на коэффициенты в уравнении (0.20), обеспечивающие близость спектра Ак задачи (0.20),(0.21) к спектру Ло задачи (0.22),(0.23). Они легко усматриваются из физических соображений. Ясно, что масса мембраны, сосредоточенная на участке ш С Г2 должна быть близка к массе струнной сетки, сосредоточенной на Г* П со. Отсюда наше первое условие.

J pkdfj, — j p°dx.

Г/fcDuи w.

Наше второе условие связывает между собой ак и <т°. Требуется, чтобы для любого отрезка [а- 6], лежащего в Q (см. рисунок) и фиксированного направления V, ортогонального этому отрезку, выполнялось неравенство.

TV?cos (i?, 7i) — j a°dl.

7< M [a-6j.

0.29) где I — натуральный параметр на отрезке [ab], а суммирование производится по всем ребрам, пересекающим этот отрезок. Данное условие означает, что сила, действующая на отрезок [а- 6] в направлении и со стороны мембраны, обусловленная ее натяжением, близка к силе, действующей в этом же направлении со стороны сетки.

Если, к примеру, ?1 — квадрат на плоскости и все сетки Г^ имеют квадратные ячейки, и если при этом р° — const, <т° = const, то полагая все а, струны однородными можно взять их плотности и натяжения такими, что Ci = C2 = 0.

Функциональные пространства, используемые в главе 2 приводятся в пункте 2.5. Также в этом пункте описывается последовательность связывающих операторов.

Начиная с этого пункта мы приступаем к реализации схемы, намеченной в разделе 2.3. В первую очередь займемся построением связывающих операторов. Нам будет удобно (не меняя требований на гладкость коэффициентов) рассматривать оператор деления этих пространств аналогичны классическим. Сначала определяется пространство L^(Tk) как пополнение С (Г*) непрерывных на Г* функций по норме || • ||о, л (к — номер графа), определяемой скалярным произведением.

Apia* = —V (<7*Vll).

Рк о 1 действующим из пространства Н^ак (Г^) в пространство Опрегде цк — мера, описанная в пункте 2.1. Аналогично определяется L^iQ) и норма || • ||о, о, определяемая скалярным произведением a где dfjp — dxобычная мера Лебега в R2.

Определим также пространство Cq (Г*) как множество функций, непрерывных на Гл, непрерывно дифференцируемых на каждом ребре 7* и обращающихся в нуль в окрестностях точек из дГкПредполагается также, что первые производные допускают продолжения по непрерывности во внутренние вершины графа Гк (вдоль каждого ребра по отдельностипри о этом пределы могут оказаться разными). Теперь H^^i^k) определяется как пополнение С^Г*) по норме о.

Аналогично определяется пространство Н^ао и норма в нем IMIi, o=(ll.

1 ° 1 Наконец, Hpk (jk (Г^) определяется как сопряженное к Н^^О^к) со стандартной нормой сопряженного пространства. Аналогично определяется и ноРма II ' 11−1,0.

Через J€(u) обозначается сглаживание функции и по Соболеву-Фридрихсу. о о.

Связывающий оператор рк: Н^^о —>• Нркак (Г*) определяется как сужение Тк на множество Г* функции.

J%(u) = Jek (X2eku)(x) = J иек (х — у) Х2еки (у) dy, n где число &euro-к фиксируется для каждого Тк по отдельности так, что ек 0 при к —)• оо, а Хе ~ характеристическая функция множества {х € Q: d (x, дП) > с}.

— 1, Х—у у.

Сглаживающая функция ш&euro- = -) определяется стандартно.

6 €.

Лемма 0.1 Пусть v, g°? C (ft), дк € С (Гк), g°(s) > 0, дк (х) > 0. Пусть w G ?1 и выполнено неравенство.

Г*Пы ш.

J gkdfj, k — J g°diA° <С J.

J gkv dfj, k — J g°v.

ГкПош с f 9°V dp*.

U) ш где osc (vш) — колебания функции v на из.

Назовем ft простой областью, если ее пересечение с любой прямой состоит из конечного числа компонент связности. В этом случае область ft допускает разбиение на сколь угодно малые части ., изп также являющиеся простыми. Нам также будет удобно переформулировать условие (0.29) следующим образом.

Лемма 0.2 Пусть из С ft — простая область и V — фиксированное направление. Тогда j ak{x)cos2{v^x)dnk — J.

Лемма 0.3 Пусть из такая же, как и выше, a v Е С (ft). Тогда.

J orfe (a-)cos (i7,7x)sin (i7,7X)v{x) < C2h{Tk) J a°v dn°+ Ш osc{v, u3)(C2h (Tk) + l) J (7%°.

Г*Пи> w о.

Теорема 0.2 Для любой функции и? H^ift) выполняется равенство lim \pk (u)\i, k = |M|i, o. «->00.

В пункте 2.6 доказываются некоторые оценки прямых и обратных операторов. Данный пункт является подготовительным к доказательству сходимости операторов АРк (Тк + XI к оператору Др,^ + XI. о.

Лемма 0.4 Пусть и Е Я^ЦГ*). Тогда.

Аи||м < (1+ |А|)|М|м. (0.32).

То, что оценка зависит только от А, но не от Г* важно для дальнейшего. Следующая лемма дает оценку норм операторов, обратных к Аркак — /, также независящую от Г*. о.

Лемма 0.5 Пусть и е Н^ак (Тк) — Тогда.

ApkakU — ii||i)Jfc > |M|1>jfc. О.

Также, в этом пункте показывается, что: Н1^ак (Г*-) —У (Г&-) является изоморфизмом, а оператор Д^* + XI является фредгольмо-вым с нулевым индексом при каждом к и любом А. Хотя формально мы должны рассматривать и случай комплексных А, тем не менее можно ограничиться случаем вещественных и положительных А. Это следует из того, что оператор формально самосопряженный и положительно определенный, а потому его спектр лежит на положительной полуоси в BL Отметим также, что в силу упомянутой выше фредгольмовости спектр оператора — Др*ст* дискретен.

В пункте 2.7 доказывается дискретная, а потом и устойчивая сходимость операторов Др*а* + XI.

О О р

Теорема 0.3 Пусть щ € «€ НрТогда из щ —> и следует, что lim \ApkgkUk + Aufc||-i, jfe = ЦДроаои + Au||i)0 k—too.

Теорема 0.4 Пусть выполняются условия (0.28), (0.29) и h (Tk) —0 при к оо. Тогда i. для любого Ао Е Ло найдется последовательность {Л*} (X к Е Л к), сходящаяся к Логг. если последовательность {Л*} (Хк € Ак) имеет конечный предел Ло при к —У оо, то Ло G Ао.

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности 15 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 81 стр. Библиография содержит 27 наименования. Текст иллюстрируют б рисунков.

1. Павлов B.C. Модель свободных электронов и задача рассеяния /Б.С. Павлов, М.Д. Фаддеев// Теоретическая и математическая физика.-1983. Т. 55, № 2. С. 257−269.

2. Покорный Ю. В. Теоремы Штурма для уравнений на графах /Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин//Докл. АН СССР- 1989 Т. 309, № 6-С. 1306−1309.

3. Покорный Ю. В. О теоремах сравнения для уравнений на графах /Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин//Дифференциальные уравнения,-1989. Т. 25, № 7. С. 1141−1150.

4. Nicaise S. Estimees du Spectre de Laplacian sur une reseaux topologique fini/S. Nicaise//Comptes Rendus Acad. Sc. Paris 1986; t. 303, ser.8. P. 343−346.

5. Олейник О. А., Соболева Т.С.//Успехи математических наук -1988.— Т. 43, № 4. С. 185−186.

6. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения/О.А. Ладыженская М.: ГИТТЛ, 1953.-254с.

7. Цветкович Д. Спектры графов: Теория и применение/Д. Цветкович, М. Дуб, X. Захс Киев: Наукова думка, 1984.-348с.

8. Жиков В. В. Усреднение дифференциальных операторов/В.В. Жи-ков, С. М. Козлов, О. А. Олейник М.: Наука, 1993.-453с.

9. Жиков В. В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости/В.В. Жиков//Мат. сб.-1996 Т. 187, № 8 — С. 1109−1147.

10. Жиков В. В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах/В.В. Жиков//Изв. РАН 2002. Т. 66, № 2 — С. 81−148.

11. Назаров С. А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей/С.А. Назаров//Тр. семинара им. И. Г. Петровского 1995 — Вып. 18 — С. 3−78.

12. Вайникко Г. М. Анализ дискретизационных методов/Г.М. Вайникко.- Тарту: изд-во Тартуск. ун-та, 1976. 160с.

13. Вайникко Г. М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений/Г.М. Вайникко.- Тарту: изд-во Тартуск. ун-та, 1970 172с.

14. Комаров А. В. О спектре равномерной сетки из струн/А.В. Комаров, О. М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Изв. ВУЗов. Математика.-2000 Л* 4. С. 23−27.

15. Комаров А. В. О спектре тканной мембраны/ А.В. КомаровВоронеж. гос. ун-т.-Воронеж, 2002. 7с Деп. в ВИНИТИ 11.10.02, Я®- 1720-В2002.

16. Комаров А. В. О равномерном неравенстве Пуанкаре/ А.В. КомаровВоронеж, гос. ун-т.-Воронеж, 2002 5с — Деп. в ВИНИТИ 11.10.02, № 1719-В2002.

17. Комаров А. В. О частотном спектре многомерной сетки из струн/А.В. Комаров// Межвузовский сборник научных трудов. Дифференциальные уравнения и их приложения.- Самара, 2002.-Вып. 1. С. 114−117.

18. Комаров А. В. О частотном спектре многомерного аналога тканой мембраны/А.В. Комаров, О. М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Докл. РАН. Математика.- 2003. Т. 390, № 2. С. 151−154.

19. Комаров А. В. О приближении многомерных объектов одномерными/А.В. Комаров// Труды математического факультета. (Новая серия).- Воронеж, 2002 Вып. 7 — С. 53−58.

20. Nicaise S. Relationship between the lower frequence spectrum of plates and networks of beams/S. Nicaise, O. Penkin// Math. Meth. Appl. Sci.-2000. V. 23 P. 1389−1399.

21. Penkin O. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions/О. Penkin// F. Ali Mehmeti, J. von Belov and S. Nicaise eds., Partial differential equations on multistructures Marcel Dekker, 2001; P. 183−191.

22. Завгородний М. Г. О спектре краевых задач второго порядка на пространственных сетях/М.Г. Завгородний, Ю.В. Покорный// Успехи мат. наук 1989 — Т. 44, № 4 — С. 220−221.

23. Friedman A. Partial Differential Equations/А. FriedmanHolt, Rinehart and Winston, 1969. 262p.

24. Пенкин O.M. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах/О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный//Дифференциальные уравнения.- 1998. Т. 34, ДО 8. С. 1107−1113.

25. Куляба В. В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах/В.В. Куляба, О.М. Пенкин//Докл. РАН 2002 — Т. 386, ДО 4. С. 453−456.

26. Nicaise S. Fundamental Inequalities on Firmly Stratified Sets and Some Applications/S. Nicaise, O. Penkin// Journal of inequalities pure and applied mathematics.- 2003 V. 4, is. 1, art. 9.

27. Като Т. Теория возмущения линейных операторов/Т. Като.- М.: Мир, 1972. 740с.