Расщепляемость расширений конечных разрешимых групп

Важнейшим в теории конечных групп является направление, связанное с вопросами существования и вложения подгрупп, выявления взаимосвязей между ними и влияния их строения на строение группы.

Одним из самых содержательных результатов в теории конечных групп несомненно является, ставшая повседневным и незаменимым средством исследования, теорема Силова о существовании, сопряженности, вложении и числе подгрупп, порядок которых есть степень простого числа.

В своей монографии [ I ] С. А. Чунихин пишет: tI Значение теоремы Силова для теории групп как одного из самых основных инструментов исследования трудно переоценить — достаточно лишь представить, как мало осталось бы от современной теории конечных групп при условии отсутствия в ней этой теоремы". Теорема Силова получила своё развитие в работах таких известных специалистов по теории групп как Ф. Холл [ 2,3 ], С. А. Чунихин [4−12 ], Г. Виландт^13,14-J. В этих работах заключения теоремы Силова переносятся на подгруппы более сложной структуры — холловские подгруппы. Среди многих глубоких исследований, выполненных различными алгебраистами и связанных с отмеченными теоремами Силова, Ф. Холла, С. А. Чунихина важное значение имеет результат Р. Картера [15] о существовании и сопряженности нильпотентных абнормальных подгрупп в любой конечной разрешимой группе.

Этот результат оживил изучение подгруппового строения конечных групп (см., например, работы [16 J, [l7 ], [is], 19 J). Различные аспекты использования этой теоремы показаны в монографии Б. Хупперта [20 ] .

Классическая теорема Шура-Цассенхауза о существовании и сопряжённости дополнений к нормальной холловской подгруппе в конечной группе породила ряд интересных результатов о допол няемости нормальных подгрупп. Среди них в первую очередь следует отметить следующую теорему В. Гашюца [21 ] :

Нормальная абелева подгруппа.

В работе [29 ] Е. Шенкман доказал существование и сопряжённость дополнений в конечной разрешимой группе Q нильпотентной длины 2 к её наименьшей нормальной подгруппе Ц-, п *" фактор-группа по которой нильпотентна, в случае когда Ц-абелева. Г. Хигмен [30 ] обобщил эту теорему на случай разрешимых групп произвольной нильпотентной длины П. р. Картер [31 ] установил связь между факторизационными теоремами Шенкмана и Г. Хигмена и теорией системных нормализаторов разработанной Ф. Холлом в [ 32 ] .

В диссертационной работе исследуется связь между свойствами подгруппы Картера нормальной разрешимой подгруппы группы и группе Q, если для всех р подгруппа няема в.

Эта теорема вошла в монографии [22 J и [23 ]. На Эдинбургсуществованием дополнений к этой нормальной подгруппе, изучаются свойства таких дополнений. Изучаются также свойства переноса нормализаторного условия на фактор-группы, следствием которого являются теоремы о существовании подгрупп типа Картера вразрешимых группах. Приступим теперь к более подробному обзору диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, а также списка цитированной литературы, содержащего 62 названия. В первой главе приводятся необходимые обозначения и определения, даётся перечень известных результатов других авторов, которые используются при доказательстве новых результатов.

1. Чунихин С. А. Подгруппы конечных групп. — Минск, «Наука и техника», 1964.2. /? аЛ, но ie. Ofi soр Ion с/о*. JW., /92*,.

2. JVcyif^f /? Tfieovesns Syfousis, /°2oe.1.о л о/о/7 Soct9SC? (3) 6 j jfi22J 2#G ЗОЧ.

3. Чунихин С"А. 0 $ -отделимых группах. ДАН СССР, 1948, т. IX, № 3, 443−445.

4. Чунихин С. А. О &—свойствах групп. ДАН СССР, 1947, 55, 481−484.

5. Чунихин С. А. О^{-свойствах} конечных групп. Мат.сб., 1949, 25(67), 321−346.

6. Чунихин С. А. О существовании и сопряжённости подгрупп, у конечных групп. Мат.сб., 1953, т. 33(75), № I, III-I32.

7. Чунихин С. А. О факторизации конечных групп. ДАН СССР, 1954, т. 97, № 6, 977−980.

8. Чунихин С. А. О разложении а^-отделимых групп в произведение подгрупп. ДАН СССР, 1954, т. ХСУ, № 4, 726−727.

9. Чунихин С. А. О^{-разрешимых} подгруппах конечных групп. -ДАН СССР, 1955, т.103, № 3, 377−378.

10. Чунихин С. А. О силовских свойствах конечных групп. ДАН СССР, 1950, т.73, № 1, 29−32.

11. Чунихин С. А. О, S!-факторизации конечных групп. ДАН СССР, 1956, т.108"№ 3, 397−399.13. 14/S е fane// Ze/m Scrtz mr SyfoiV.

12. Wi*&attoL? ZuaiSQ^Z rev аЛ/^ёА.19S3} i/6Y- ?62.

13. Ссуг^ег R.W. jfifyoie-ni szfy-novtna&siwftfi196i} /36-/39.

14. Беркович Я. Г. К теореме Картера. Успехи мат. наук, 1965, 20, № 6(126), 55−58.

15. Беркович Я. Г. Обобщение теорем Картера и Виландта. ДАН СССР, 1966, 171, № 4, 770−773.

16. Романовский А. В. О конечных группах с o/Г-разложимыми подгруппами. ДАН СССР, 1963, 152, № 4, 831−833.

17. Л/Ов^/7 L. noztrtaPt’ze.'zS оглс£ CQ<�с6е. О-гирреп, I. fie* €inЭ/есс/её-АеуЛен/ Уо^А: Spt/'fipe? t /96?, 21. qaScAu^Z И/ ?A..

18. Холл M. Теория групп. Москва, 1962..

19. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. Москва, и Наука11, 1978..

20. Виландт Г. Пути развития структурной теории конечных групп. В кн.: Международный математический конгресс в Эдинбурге, 1958 г. (обзорные доклады). — М., 1962, 263−276..

21. Шеметков JI.A. Факторизация конечных групп. ДАН СССР, 1968, 178, № 3, 559−562..

22. Шеметков Л. А. Дополнения и добавления к нормальным подгруппам конечных групп. Укр.матем.ж., 1971, 23, № 5, 678−689.т.

23. Шеметков Л. А. О дополняемости^{-корадикала} и свойствахsrJ- -гиперцентра конечной группы. ДАН БССР, 1974, 18, № 3, 204−206..

24. Сергиенко В. И. О факторизации конечных групп. ДАН БССР, 1970, т.14, № 5, 400−401..

25. Sch^nkmart f. ТАе. ojZ ceztf&irtSofa&ee groups Pzoc.

26. JCic^fnctn Q, e n-?ot-6 со/7 o^nsubg-zoc/ps. оЛ/atA. Ъе-Дгесеп,..

27. Ctf^e* ?.14/ Зрелые p^ope^cs Ae s ск-Ръос. 1ола/ол JVatA.Soz.195}, УЗ, So? -52 е. .

28. Сергиенко В. И. Дополнения в конечных группах. ДАН БССР, 1981, т. ГО, № 3, 200−203..

29. Сементовский В. Г. Пронормальные дисперсивные проекторы конечных групп. В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1975, 164−179..

30. Шеметков Л. А. 0 существовании^{-дополнений} к нормальным подгруппам конечных групп. ДАН СССР, 1970, 195, № 1, 50−52.Зв.У^иг^ М ^/id^'cAe gzvppen. ft/?о/t с Z’Aeoi/e с/^2 Q-tuppzn. ~~Spwyetl/ev&p SetfoЯеМе^Аеу-л/еи/.

31. Чунихина И. К., Чунихин С. А. 0 -разложимых группах. -Мат.сб., 1944, т. 15, 325−342..

32. Чунихин С. А., Шеметков Л. А. Конечные группы. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия. 1969 (Итоги наука ВИНИТИ АН СССР), М., 1971, 7−70..

33. Чунихин С. А. Общий способ получения факторизаций конечныхгрупп. Мат.сб., 1961, 54(96), № 2, 237−252..

34. Tflwmpson j. Q. Wc'^/i ^ixeot-рооп/:atL/lohioifiStoS о/ р&'/гге otc/ez. P? l0C.Jccd. Set. US J, f9SSj.

35. Кулешов Н. Й. 0 конечныхгруппах. В кн.: Подгруп-повое строение конечных групп. Мн.: Наука и техника, 1981, 44−55..

36. Монахов B.C. 0 произведении двух групп с нильпотентными подгруппами индекса, не превосходящего 2. Алгебра и логика, 1977, 18, № I, 46−62.43. 9e. il W. апо/ Тотрзоп j.Q. So&a&'fi^yof ос/с! oic/e-г. PocifrcJ-yt/oM, /962, //, jfij, ??S-/o23..

37. Тсгил^Ъ. O/i oJ-gzoufS. Ргос. Сам&ъ/е/ре.PAcl. Soc. /Ц-42..

38. Сементовский В. Г, 0 пронормальных подгруппах конечных групп. Весц1 АН БССР, 1973, № 4, 12−16..

39. Романовский А. В. Группы с холловскими нормальными делителями. В кн.: Конечные группы. Мн.: 1966,98−115..

40. Кохно А. П. О конечных группах с пронормальными нормализаторами. В кн.: Подгрупповое строение конечных групп. Мн.: Наука и техника, 1981, 39−44..

41. Wc^icmcL-i 7/. Еспе Jfetime/oAnu/ig o/tzecРгоо/ис?е vot?/>- Gtu/>/>е/7. чЛ/а/4. Z. /Щ ?.

42. Чунихин С.A. 0 специальных группах II. Мат.сб., 1933, 40, № I, 39−41..

43. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. Москва, иНаука", 1977. ^.

44. М. 0/7 о/ vStck ец сусАе Sylfou/ 5- Pzoo. JWotA.Soc., z^w* 1j HC-M.

45. Кохан Н. Г. Конечные группы с многими сопряжёнными элементами. Всесоюзный алгебраический симпозиум 1975 г. Тезисы докладов, ч.1, Гомель, 1975, с. 28..

46. Кохан Н. Г. Строение некоторых классов конечных рациональных групп. В кн.: Конечные группы. Мн.: 1978, 22−26..

47. Кохан Н. Г. Фраттиниевы пересечения и существование дополнений в конечных группах. УШ Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов, Сумы, 1982, с. 62−63..

48. Кохан Н. Г. Дополняемость инвариантных подгрупп в конечных группах. ДАН БССР, 1983, т.27, № 2, 108−109..

49. Кохан Н. Г. О расщепляемости расширений конечных сверхразрешимых групп. ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов, ч. II, Минск, 1983, с. II3-II4..

50. Кохан Н. Г. О расщепляемости расширений конечных сверхразрешимых групп. ДАН БССР, 1984, т.28, Ш 2, с. I07-II0..

51. Кохан Н. Г. Существование дополнений к инвариантным подгруппам в конечных группах. В кн.: Исследование подгруппового и нормального строения конечных групп. Минск, Наука и техника, 1984..