Приближение классов периодических функций линейными средними их рядов Фурье

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Формула (В. 1.9) для класса W^ принадлежит С. М. Никольскому, формула (В.1.8) — С. Б. Стечкину. Формулу (В.1.7) для классов И^ ^ при целых р получили С. М. Никольский и Б. Надь. При этом Б. Надем для классов Й^ при четном г и IV при нечетном г доказана формула, более точная, чем (В.1.7): оо f/. Порядок убывания к нулю величины) с был выяснен в работах А. Зишунда и Б. Надя, С. А. Теляковским в… Читать ещё >

Содержание

Основные обозначения
B. I. Постановки задач и краткий обзор результатов. б
В.2. Краткое содержание диссертации. II
ГЛАВА I. Приближение классов С? суммами Зигмунда. зо
- I. I. Основные определения и используемые результаты
  - 1. 2. Приближение классов Cf суммами Зигмувда, если sm+j- = 0 *
  - 1. 3. Приближение классов cf^ суммами Зигмунда, если и о sik1-^ - Ф
ГЛАВА II. Приближение классов периодических функций линейными положительными операторами
- 2. 1. Определения, обозначения и известные результаты
- 2. 2. Об асимптотически наилучшем приближении классов if линейными положительными операторами
- 2. 3. Об асимптотически найлучшем приближении классов дифференцируемых функций операторами u*(A-f-x)
ГЛАВА III. О реализации точных верхних граней наилучших приближений в метрике С на классах W1,1 и W^'J суммами Фавара. П
- 3. 1. К приближению функций класса Wi, d суммами Фавара. цд
- 3. 2. Приближение функций класса суммами Фавара
Литература

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Цусть L C/>eIi-+oo)), L^ и С — пространства 2%-периодических измеримых функций, соответственно суммируемых в р-й степени, существенно ограниченных и непрерывных, с нормами

2Ж -L flps (JlHWPdi) > ^ l^^supvrai I to) I, ||f||c = так U*)l-

Тп{(х) — тригонометрический полином порядка не выше (п-i) —

En (f)x = inf Ifw-V^x)!! и — sup? n (f- наилучшее

Tn-{ fefflc приближение соответственно функции f (x)eX и множества Ж ≤ X тригонометрическими полиномами Т ^ж) в метрике пространства X

X=Z.D), X = с) —

VCfl- вариация функции fсх") на сегменте Па-61- ср * к = ^ Jcp (t)K (x-t)dt- свертке функций if (log L и као е А- -J wCf-tt = sup||tea)-to||c и vr (f-t) = sup ||fo>uWfx)|L ul$t Р р

— соответственно модуль непрерывности функции fcooeC и

Up6oo) —

Hur={f-f?C' Vi W (f-t)?W (t)}, Vi ШСЩ* w (t)j

— классы 2%-периодических функций, где wit) — фиксированная функция типа модуля непрерывности-

Wp (г=1,2,3,.) — классы 2J-периодических функций f (x), у которых (r-i) производная f (r*х) локально абсолютно непрерывна, а f (rb Ир

W. — классы 25-периодических функций fCx), представимых в Р’Р, 25ЕГ виде свертки f (х) = ^ср* к, где ]|q>||p <1 , Jq>(u)clu = О, ^ -~-cos (kt > r>0, p> — любое действительное число- k=i К > J

Ln и Ll. «произвольные линейный и линейный положительный операторы, действующие из множества в пространство всех тригонометрических полиномов степени не выше о-о —

Ak (f-, х)= akcoskx + 6ksin кх- Ak (f-x) = aksinkx — 3kcos кх

2Я 2зг где ак=. L J fd) cos ki dt и 6k-^Jf (t) sin ki di коэффициенты Фурье функции f (x)eL —

S (fi) = i° + f A (fx) — частные суммы ряда Фурье функции и> ' 2, , к '

23 Г n-i

-i J1Л = i' С «¦ I A/f- srt. uUM-f-X) — i ffft*)dt -- ai % A/f-x>.ft Ak (f-x)), ft, vL «/ k—i

W n-i

— линейные и линейные положительные операторы соответственно с ядрами = j ^ + 1 (*"'coski -f™ Si* kt) i

А. ^ .,.1 к=i n-i n-i + ' = 1 С- ^/^свНчфьЫро, it ^ о k=i к где и ^ - элементы бесконечных треугольных числовых матриц

Л={Д (П и м = С=<°? = ° ' если к*л '>

M-P")V = sup ||fCx)-P (f-X) IIх, ' л * Рп нш где P^Cf-*-) — один из операторов и^л, M-f-x иа (л>*>а:)

В каждом параграфе, кроме введения, нумерация формул двойная: первая цифра — номер параграфа, в котором помещена формула, вторая — ее порядковый номер в этом параграфе. При нумерации утверждений и при ссылках на формулы из другой главы употребляется тройная нумерация, где первая цифра — номер главы, вторая-номер параграфа в этой главе, третья — номер формулы в этом параграфе.

Приближение классов периодических функций линейными средними их рядов Фурье (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Диссертация посвящена исследованию ряда вопросов, относящихся к приближению периодических функций тригонометрическими полиномами, порожденными линейными методами суммирования рядов Фурье.

Задача приближения заданного класса функций при помощи фиксированного линейного метода состоит в исследовании величин sup II f (x) — A (f-x) II х, {еМ где Х=> Ш — заданный класс функций, содержащихся в нормированном пространстве X и обладающих заранее известными нам свойствами, A (f-, x) — линейный оператор, отображающий пространство X во множество F с X .

Если X = С, то точное нахождение величины т-, ил (А))? sup ||fCx)-^CA-f-x)||c" п с {еШ где Ж заданный класс непрерывны* функций, в общем случае очень сложно даже для одного какого-нибудь фиксированного значения п. Поэтому задача об отыскании асимптотических равенств для величины Л))с стала одной из наиболее важных в теории приближения функций.

Первый результат в этом направлении был получен А. Н. Колмогоровым в[1б]в 1935 году. Им установлено, что при справедливо асимптотическое равенство СВЛЛ) Ш.

ОО.

Исследования А. Н. Колмогорова были продолжены В. Т. Пинкевичем Е 32 1• Он доказал, что равенство (B.I.I) справедливо и для классов W^o, где г >о «a W^- множество непрерывных 2S-периодических функций f (х), представимых в виде свертки Вг,.

2S 00 л т llcpllc^l, j>(u)du = 0, BP (lO = I^Fcos (kU^1f). о.

Следующий существенный шаг в развитии этой теории принадлежит С. М. Никольскому С 27, 28 3 «распространившему эти результаты на классы WrH^.» где WrH — класс непрерывных 2%-периодических.

-/г4 функций их"), представимых в виде свертки f (x)-J?cp*B, Н^ и urct) — выпуклый вверх модуль непрерывности.

Указанные исследования А. Н. Колмогорова и С. М. Никольского положили начало новому направлению в теории приближения функций.

Их результаты распространяли на более общие классы функций, а в качестве приближающих агрегатов рассматривали тригонометрические полиномы, порождаемые различными линейными методами суммирования рядов Фурье.

Задача об отыскании асимптотических равенств для величин — aft (A))c, где Ш — фиксированный класс непрерывных функций, стала одной из наиболее важных в теории приближения Функций и в теории суммирования рядов Фурье. Ее мы, следуя А. И. Степанцу (см., например, [35> с.9]), называем задачей Колмогорова-Никольского и, если получено равенство для величины иЛ (Л)), которое является асимптотически точным, т. е., если в явном виде найдена такая функция ср (иО «для которой и^сА))с =g>oo + 5Ccpc*V), л — оо, то говорим, что решена задача Колмогорова-Никольского для класса функций Ж и метода U^CA).

Дальнейшее развитие теории, фундамент которой заложен исследованиями А. Н. Колмогорова и С. М. Никольского, проходит в разных направлениях.

Б.Надем L2324 1, С. Б. Стечкиным $ 0−421 и С. А. Теляковским [ 46−50 3 к началу 60-х годов был разработан метод, позволяющий решать задачу Колмогорова-Никольского на классах W^^ для широкого класса линейных методов ип (Л), определяемых бесконечными треугольными числовыми матрицами n, k=o, l,2,.- Д%0 при к ' Jc к"и., элементы которых удовлетворяют определенным условиям, которые заведомо выполняются для ряда классических методов.

На классах Н, 2% - периодических функций fM, пред.

Г 00 i Р. Г ставимых в виде свертки ^x) = icP*B" «где В O0=Z~f иС р ?

ЮеН^и W (t) — выпуклый вверх модуль непрерывности, асимптоys тика величины ^(VV^H^- S^с была найдена Ефимовым в С ] .

В 1983 году появилась работа А. И. Степанца [ 36 ], в которой предложен новый, более общий подход к определению классов периодических функций. В его основу положено разбиение функций на классы в зависимости от скорости убывания к нулю их коэффициентов Фурье.

А.И.Степанец ввел в рассмотрение классы и С^ следующим образом.

Пусть f (x) — непрерывная 2Х-периодическая функция и.

CL 00 у t I (akcoskcc, +?>ksin.kx).

— ее ряд Фурье.

Цусть, далее, ft (к) — произвольная фиксированная функция натурального аргумента С^(к)фо) и^{-фиксированное} действительное число, ^(-«'i+oo). Предположим, что ряд.

I JL (ака*(кх*%) * 6к s, n является рядом Фурье некоторой суммируемой функции. Эту функцию обозначим через f/te), а множество функций fCx), удовлетворяю.

Р пф щих таким условиям будем обозначать через.

Если fe С^ и, кроме того, llf^ H^sJ, то будем говорить, что функция f (х) принадлежит классу С ^ ¦

Если ж efecj и Vi, t'e [-£Д], wdl — фиксированный модуль непрерывности, то соответствующий класс функций будем обозначать через С^ Н^ .

При <])(к) = к~г, г>о, классы С^ совпадают с классами г Р' ф.

Wp^, введенными Б. Надем [233> а классы С^ н ^ - с классами.

W^H^i которые,.впервые рассматривал А. В. Ефимов ] .

В [37 ] показано, что если функция) при и"{ удовлетворяет условиям: a) if)(и) выпукла внизi «оо в).

• lla^ll da = - оо 1 то при и — оо справедливы асимптотические равенства.

С/Ьгоо'>5л П. + 0(фсю)9 (В.1.2) O (^rour^)), (B.I.3) где SyL (ur) = Qw. J2ur (-?L)s->tt dt, -§'<9ur-i ' пРичем еиг = ^ о если wd) выпуклый вверх модуль непрерывности.

Так как функция (jJ (u) = u~r, г>0, удовлетворяет условиям а)-г), то равенства (В.1.2), (В.1.3) содержат все полученные ранее результаты, относящиеся к задаче Колмогорова-Никольского на г г классах Wtt и МЛ Н «для сумм Фурье.

Д00 уз.

Обозначим через n-f 5 I CC0S С = 5 > 0, о суммы Зигмунда функции ffx). р

Порядок убывания к нулю величины) с был выяснен в работах А. Зишунда [15 ] и Б. Надя [24 ], С. А. Теляковским в [49 ] решена задача Колмогорова-Никольского на классе w! l оо для сумм Зигмунда (f jx"). Им установлено, что при справедливы асимптотические равенства r. r 4, l^sup ||fSCx)||c, 0(^), r>S;

B.I.4).

AVr — = -j.

Зро и/С 1 g ACT) + О (^4+т), r-s, sinf=0, где x.

J | 5.

B.I.5).

T (it) a.

-r i&u, f (x> - непрерывная функция, имеющая ряд Фурье X kSAkfbx), fc=l.

Отметим, что асимптотика величины • Z" 5″ ^ ПРИ.

Ь,"=о > Л. ' С, а также r = s и |sinAr| = 4 была найдена Б. Надем в [24 ]..

При s=i суммы Зигмунда становятся суммами Фей ера G^C-fjx). Поэтому из равенств (В.1.4) и (В.1.5) следует, что при.

•)+0(4г), o.

Щ яДМ.

ДоО И. с f? W рро ri’c Л.

4 Л4 л п.

1, (В.1.6).

В.1.7) п (В.1.8) / (В.1.9) 1 где f (сv) — функция, сопряженная к функции ffa). 1.

Формула (В. 1.9) для класса W^ принадлежит С. М. Никольскому [29], формула (В.1.8) — С. Б. Стечкину [46]. Формулу (В.1.7) для классов И^ ^ при целых р получили С. М. Никольский [28,30] и Б. Надь [22,24]. При этом Б. Надем [22] для классов Й^ при четном г и IV при нечетном г доказана формула, более точная, чем (В.1.7): оо f/.

В работе исследовано поведение величины •§-(С. i %) при некотоjOO П,? рых естественных условиях, накладываемых на функцию у/(и). Этому посвящена глава I..

Во второй главе рассматривается следующая задача. Пусть Ш^К и Fcx — линейное многообразие в X. Задача о наилучшем линейном методе приближения заданного множества Щ состоит в нахождении величины cLf elf m-, F) = inf шр lfto)-A (fix)L=* inf ?(m, A) r? (B.I.10) A (X)<=F fern где A (f>x) — линейный оператор, отображающий пространство X во множество F ..

Линейный оператор A (A (X)C^F) (если он существует), реализующий в (B.I.I0) точную нижнюю грань, т. е. такой, что вир llffa).

-Л^Лл)! =?(M)F) определяет наилучший линейный метод приближения. х х.

Обозначим через E (ffl-F) = вир inf || f (x) — и (л)|| л fem .

— наилучшее приближение множества Ш множеством F. Ясно, что ёСШ-.F) >Е (т->Р)х ..

X л.

Известные результаты по решению задачи о найлучшем линейном методе приближения в основном таковы, что если Е (Ж-F)x=&(ЩПХ> т. е., если наилучшее приближение множества^ реализуется с помощью линейных методов, то одновременно находится и наилучший линейный метод..

На этом пути впервые результаты были получены в 1936 году Фаваром С53−55 Пив 1937 году Н. И. Ахиезером и М. Г. Крейном С j 1. Исследования Фавара, Н. И. Ахиезера и М. Г. Крейна были продолжены Б. Надем [23 ], С. М. Никольским C3I ]" В. К. Дзядыком [8−10], С.Б.Стеч-киным [41], Оунь Юн-Шеном [45 ]..

П.П.Коровкин построил положительный полиномиальный метод приближения, который является асимптотически наилучшим среди всех положительных методов f', x) на классе. Он доказал [ 20 ], что при и-*~оо справедливо асимптотическое равенство f? Zo I 2? где ^(fj^ri J f (x+t) X^Ct) dt — оператор Коровкина,.

Yl-i.

Ю, , f in) K-k+l kfi i j. Tl kX.

Z" - класс ZUlпериодических функций, удовлетворяющих условию.

I 2..

А.Н.Давыдчиком в [7 3 доказано, что при п^оо и г =2,3,4,. имеет место асимптотическое равенство.

L 29 /.окСк-иГ где Кb-ii———константы Фавара..

Известно (см., например, [II, с. 193]), что.

Zg = w^ (B.I.12) и (см. [21]) при г=1,2,3,. sup lite)-<(A-f-x)U = sup. (B.I.13) fcvC L fewf L.

Если Ш — множество, инвариантное относительно сдвига, т. е. из включения $(х)еШ следует, что f (x+t)e Ж и, кроме того, из включения Нх) еш следует, что Н-х) &-Ш,, то $m-, L[)K = &(Ж-и*л (Ш)х = (B.I.I4).

Из равенств (B.I.II)-(B, I.14) следует, что при г=2,3,4,. т. е. метод Коровкина является асимптотически наилучшим среди всех линейных положительных операторов A*n (f-x) на классах и wf. С ^ =2••")•.

ЧУСТЬ 2 Г «,) f-x) (B.I.15).

О k=i.

-линейный положительный оператор с ядром П-1 u+a-t)=-j + ZAfcostitO, где Ит ik х = fc* (B.I.I6).

В настоящей работе найдены асимптотические значения величин и ?(Ш-и*(/D) для некоторых классов дифференцируемых л. * х функций..

Отмечается, что если, то j|f Сх) *- а (Л, Мfx) jjp = sup ||f (x) — tf (Л, М-f-x)|L,. fe/<*Hp P f€K*H°, ps.

Это равенство позволяет найти асимптотику для величины ^?(К*Н, в',?"),> поскольку найдена асимптотика для величины.

И L".

К* Hp (р £оо) — множествопериодических функций ffrc.), представимых в виде f (x) = ±fq>(x №) cit, II ср II * 1 ,.

СО Q.

К (Ю = Z.

В главе Ш установлено, что метод Фавара не реализует точную верхнюю грань наилучших приближений на классе, и указано подмножество функций из и/*'*, на которых метод Фавара реализует точную верхнюю грань наилучших приближений..

1. Бари Н. К. Тригонометрические рдцы. М.: Физматгиз, 1961. 963 с. fjV1.

2. Бушев Д. Н. К приближению функций класса п методом Фавара.- Докл. АН УССР, 1984, сер. А, № 2, с. 3−4..

3. Бушев Д. Н. Об асимптотическом найлучшем приближении классов дифференцируемых функций линейнши положительными операторами.- Укр.матем.журн., 1985,37,№, с..

4. Бушев Д. Н. Приближение классов дифференцируемых функций ли-нейньми положительными операторами. В кн.: Теория приближения функций и ее приложения.-Киев:Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 18−29..

5. Бушев Д. Н. Приближение классов непрерывных периодических функций суммами Зиплунда./Препринт 84.56. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. — 64 с..

6. Давыдчик А. Н. Приближение периодических функций линейными положительными операторами. В кн.: Исследования по современный проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1982, с. 187−193..

7. Дзядык В. К. О наилучшем приближении в классе периодических функций, имеющих ограниченную sю производную (о < s < 1).- Изв. АН СССР, сер. матем., 1953, 17, с. 135−162..

8. Дзядык В. К. О найлучшем приближении на классах периодических функций, определяемых ядрами, являющимися интегралами от абсолютно монотонных функций. Изв. АН СССР, сер.матем., 1959, 23, с. 933−950..

9. Дзядык В. К. 0 найлучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от линейной комбинации абсолютно монотонных ядер. Мат. заметки, 1974, 16, № 5,с.691−701..

10. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. — 510 с..

11. Ефимов А. В. Приближение непрерывных периодических функций суммами фурьер.- Изв. АН СССР, сер.матем., 1960, 24, № 2, с.243−296..

12. Ефимов А. В. Линейные методы приближения некоторых классов непрерывных периодических функций. Труды Математического ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 1961, 62, с.3−47..

13. Колмогоров A.H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. — 496 с..

14. Корн1йчук М. П. Про экстремальн1 властивост1 пер1одичних функц1й. Докл. АН УРСР, 1962, 8, с.993−998..

15. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближений. -М.: Наука, 1976. 320 с..

16. Коровкин П. П. Об одном асимптотическом свойстве суммирования рядов фурье и о найлучшем приближении функций класса Ъг линейными положительными операторами. Успехи матем. наук, 1953, 13, № 6184, с.99−103..

17. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. -М.: Наука, 1974. 480 с..

18. Hewman D. and Shapiro S. Some theorems on Gebysev approximation.-Duke mathematical jouraalr1963, v.30,К 4, p.673−681..

19. Никольский C.M. Асимптотическая оценка остатка при приближении суммами Фурье. Докл. АН СССР, 1941,22,№ 6,с.386−389..

20. Никольский С. М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами. Труды Математического ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1945, 15, с.1−76..

21. Никольский С. М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера. Изв. АН СССР, сер.матем., 1940, 4, с.501−508..

22. Никольский С. М. Оценка остатка сумм Фейера для периодических функций, имеющих ограниченную производную. Докл. АН СССР, 1941, 31, № 3, с.210−214..

23. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем. Изв. АН СССР, сер.матем., 1946,10,с.207−208..

24. Линкевич В. Т. О порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Вейля. Изв. АН СССР, сер.матем., 1940, 4, № 5, с.521−528..

25. Лолиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М.: Наука, 1978, П,. — 431 с,.

26. Гукасов В. И. Приближение периодических функций линейными средними их рядов Фурье. -/Препринт 83.62. Киев: Ин-т математики АН УССР* 1983. 56 с..

27. Степанеп А. И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наук. думка, 1981. — 440 с..

28. Степанец А. И. Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье./Препринт 83.10. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. — 57 с..

29. Степанец А. И. Классификация периодических функций и приближение их сушами фурье./Препринт 83.69. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. — 57 с..

30. Степанец А. И. Точная оценка отклоненний сумм Фавара на классах-fЯд g. В кн.: Исследования по теории приближения функций и их приложения. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978, с.174−181..

31. Степанец А. И., Кушпель А. К. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических Функций./Препринт 84.15. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. — 44 с..

32. Стечкин С. Б. О суммах Балле Цуссена. Докл. АН СССР, 1951, 80, № 4, с. 545−548..

33. Стечкин С. Б. Несколько аамечаний о тригонометрических полиномах. Успехи матем. наук, 1956, 10, № 1, с.159−166..

34. Стечкин С. Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами. Изв. АН СССР, сер.матем., 1956,20, с.643−648..

35. Стечкин С. Б. О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара. Мат. заметки, 1973, 13,№ 5,с.335−349..

36. Стечкин С. Б., Теляковский С. А., О приближении дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами в метрике L. -Труды Математического ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1967, 88, с.20−29..

37. Оунь Юн-шен. О наилучшем приближении периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами. Изв. АН СССР, сер.матем., 1959, 23, с.67−92..

38. Теляковский С. А. Приближение дифференцируемых функций суммами Балле Дуссена. Докл. АН СССР, 1958, 121, № 3, с.426−429..

39. Теляковский С. А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Вейля, суммами Балле Ify-ссена.- Докл. АН СССР, I960, 131, № 2, с.259−262..

40. Теляковский С. А. О приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. Изв. АН СССР, сер.матем., I960, 24, № 2, с.213−242..

41. Теляковский С. А. О нормах тригонометрических полиномов и приближение дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. I. Труды Математического ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1961, 62, с.61−97..

42. Теляковский С. А. О нормах тригонометрических полиномов и приближение дифференцируемых функттий линейными средними их рядов фурье. П. Изв. АН СССР, сер.матем., 1963, 27, № 3, с.253−272..

43. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, I960. — 624 с..

44. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во Московского ун-та, 1976. — 304 с..

45. Favard J, Sur les meilleurs procedes d’approximation de certaines clasess de fonctions par des polynomes trigonometriques, Bull Sci.Hath.61(1937), 209*224, 243−256,.

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой