Алгоритм Якоби-Перрона и совместное приближение функций

В диссертации рассматривается обобщение варианта непрерывных (цепных) дробей., называемых J? -дробями с одномерного случая на векторный. Это обобщение осуществлено с помощью алгоритма Якоби-Перрона. Чтобы определить более подробно объект нашего исследования, сделаем два отступления: первое касается Р-дро-бей и второе — алгоритма Якоби-Перрона.

Непрерывными дробями называют выражения вида а0±^ V

Сол) где вещественные или комплексные «элементы непрерывной дроби» г, cL могут зависеть от параметров. Непрерывная дробь выпи

Г* *N сывается по функции (ряду, числу) и тогда говорят о «разложении» в нее функции (ряда, числа). Ценность непрерывных дробей заключается в том, что подходящие дроби к ним do+ -^ о). п. иногда дают лучшее приближение разложенной в непрерывную дробь величины, чем другие конструкции. Например, непрерывные дроби могут сходиться за пределами круга сходимости ряда Тейлора функции и т. п. Тип приближения и его «качество» существенно зависят от алгоритма, с помощью которого непрерывная дробь получена, и от свойств самих приближаемых величин.

Различают несколько типов непрерывных дробей в Зависимости от вида их элементов и их свойств. Это г I —дроби

N. ТДроби, С-дроби, Рдроби и другие (см. [гз] ,[3>2j). Особое место в теории чисел занимают правильные непрерывные дроби Р 1 о 4

0.2)

Р. z для которых Z > Pi I р2>— ёЛ/. В них с помощью алгоритма Евклида раскладываются действительные числа. По способу получения и свойствам к ним наиболее близки функциональные непрерывные дроби, носящие название Р-дробей. Происхождение их названия (от англ. p4. inet jjai paft — его ввел Магнус [20]) объясняется тем, что знаменатели dР-дроби (более точно: Р-дроби с центром в бесконечности) находятся по исходному ряду a = = 2L^0,ez Съе Z) (о.з) — Y о как главные части d к = а 0 в точке 2 — рядов

V- -г «

Z}, рекуррентно связанных друг с другом: Q t — 4/(), fc С Л/. Все числители

Р-дробей равны единице, а их знаменатели — многочлены от? Если отвлечься от того, что вместо взятия целой части берется главная часть ряда, то алгоритм построения Р-дробей — это алгоритм Евклида деления с остатком.

Другой важной составляющей предмета рассмотрения диссертации является алгоритм Якоби-Перрона.

Первое обобщение на многомерный случай алгоритма непрерывных дробей, по-видимому, было дано в работе Эйлера. Алгоритм Эйлера был насколько изменен Якоби, который придал вычислениям больше единообразия (см. [j?] ,?.483), а затем перенесен Перроном с двумерного случая на случай произвольной размерности[25]. Перрон ввел удобную символику и доказал сходимость, однозначность и другие важные свойства алгоритма. Последовательность операций в алгоритме Якоби-Перрона та же, что и в алгоритме Евклида. Единственное отличие этих двух алгоритмов состоит в том, что в алгоритме Якоби-Перрона на каждом шаге обращаются не числа, а векторы. Операция обращения векторов .<3 ^(R

I ' Ж ' me /V) с неравной нулю первой компонентой определяется формулой i а- 4 а m

WL

По алгоритму Якоби-Перрона любой вектор, а € [R может быть разложен либо в конечную, либо в бесконечную правильную числовую непрерывную дробь i 1

4;

0.4) В

2 +

При этом компоненты векторов р^ в (Р*^) — целые неотрицательные при к. > О числа, удовлетворяющие определенным неравенствам-, (определение этого варианта алгоритма разложения в непрерывную дробь см. в § 2 главы I).

В последнее время интерес к алгоритму Якоби-Перрона возродился вновь. Швайгер исследовал метрические свойства алгоритма [2.83 «а Л. Бернштейн доказал его периодичность для некоторых классов чисел С/МЗ. Были сделаны попытки обобщений алгоритма Якоби-Перрона. Рубан перенес его на случай р-адических чисел, а де Брюен впервые применил его для разложения функцийв работе [Ъ]им были обобщены на векторный случай С-дроби.

Другой вариант приложения алгоритма Якоби-Перрона к случаю функций предложен в настоящей диссертации: на многомерный случай обобщены Рдроби. Обозначим через К поле формальных рядов вида со

Ь Z (vZ) (0−5)

IC=Y с комплексными коэффициентами. С помощью алгоритма Якоби-Перрона по вектору О. <�г К 6 строится конечная, либо бесконечная многомерная Р-дробь — непрерывная дробь, имеющая вид (0.4), но в которой теперь компоненты (fOj (j= > •• • >, V1) векторов рк не целые числа, а многочлены, при к > о удовлетворяющие неравенствам

0.6) j- 1 p.^m-i

Непрерывные дроби, удовлетворяющие приведенным выше условиям, будем называть правильно сконструированными, не предполагая арчДоч L, что они получены по алгоритму Якоби-Перрона. Компоненты векторов их подходящих дробей o{ix к правильно сконструированной непрерывной дроби (0.4) будут рациональными функциями. Степень наименьшего общего кратного их знаменателей (после всех возможных сокращений в кольце многочленов

4 Л 1X1 отзывается равной Z.

Одномерные Рдроби обладают следующим свойством (это свойство было известно еще Чебышеву ^ см.? 8J). Договоримся через f (-f-) обозначать порядки нуля рядов вида (0.5) (т.е. это номер первого отличного от нуля коэффициента *t T’C-f) ^ '* тогда для и-х подходящих дробей к Р-дроби, выписанной по Си, будет справедливо т (a-eij = S^ (о.?)

П. как и раньше, числа S ^ «Z- ^^ f к «» это степени знаменателей функции сС^),

Дадим определение. Будем говорить, что функциональная непрерывная дробь соответствует степенному ряду, если начальные коэффициенты разложений в степенные ряды подходящих дробей к (СМ) совпадают с коэффициентами данного ряда и число совпадающих коэффициентов стремится к бесконечности — аналогично вводится понятие вектор-ряда, соответствующего многомерной непрерывной дроби. В § 3 первой главы диссертации решается вопрос о возможности обобщения свойства (0.7) на случай векторов размерности т^ 2 .

Теорема 2. Любой правильно сконструированной м, -мерной Рдроби соответствует некоторый вектор О- 6 К, причем если непрерывная дробь не оборвалась до (и+1)-го шага (не верны неравенства

0.8) где 4, €-2. при L=2v.>m, а число ^(И+О зависит только от степеней многочленов (pz)m .

В скобках заметим, что в методических целях во введении нами изменена редакция формулировок некоторых теорем).

Теорема 2 точна в том смысле, что стоящая в правой части («0.8) величина не может быть заменена большей величиной, зависящей лишь от номера компоненты разности (X и степеней компонент векторов р^ 7 pz^. ?. Справедлива

Теорема 4. При т^-2 для любой последовательности натуральных чисел? существует вектор 3 €, раскладывающийся в Jr ¦-дробь (0 о4), для которой степени многочленов — последних компонент векторов рк равны S^. (ice Л/^, а все неравенства (0.8) обращаются в точные равенства не /V- >т)

Величины), фигурирующие в формулировках теорем

2 и 4, находятся по формулам рекуррентного типа

Г если ^ [ если с «начальными условиями» у (2.-1*0 =. ^ =

Г — 7 + ^ при этом можно показать, что ^(.И) [m-f J

С помощью теоремы 2 доказывается ряд свойств многомерных Рдробей.

Замечание 2 (свойство соответствия^). Непрерывной дроби, построенной по алгоритму Якоби-Перрона, соответствует тот вектор, из которого она была получена.

Теорема 5 (свойство единственности). Любая правильно сконструированная непрерывная дробь может быть получена из соответствующего ей вектора при помощи алгоритма Якоби-Перрона.

Правильные числовые непрерывные дроби ф.2) обладают важным свойством: их обрыв равносилен тому, что разложенное в непрерывную дробь число — рациональное. Рассмотрим вопрос о том, в каком случае обрываются многомерные р*-дроби, т. е. на одном из шагов алгоритма Якоби-Перрона в процессе обращения вектора происходит деление на нуль.

Необходимое условие обрыва выясняется без труда. Оно оказывается и достаточным условием. Используя теорему 2, в § 4 первой главы доказывается

Теорема 6. Векторная Рдробь обрывается тогда и только тогда, когда компоненты разложенного в нее вектора вместе с рядом, состоящим из одного члена — единицы, линейно зависимы над кольцом многочленов (С ^ .

Для сравнения опишем ситуацию для других вариантов многомерных непрерывных дробей. Для Ш-мерных правильных числовых непрерывных дробей необходимое условие обрыва — это линейная зависимость над 21 единицы и компонент раскладываемого в непрерывную дробь вектора. Оно является достаточным в случае 2. (см. [??]), и не является таковым при: Перроном в [?5] приводятся примеры алгебраических вещественных, чисел? , степени меньшей, чем m-М, для которых вектор (-J**) разлагается в бесконечную периодическую непрерывную дробь. Для имерных (^-дробей результат, аналогичный результату

Перрона, был получен де Брюеном в работе [V^J .

В одномерном случае известно, что подходящие дроби к Рдроби для Ol составляют главную диагональ таблицы Паде рада Ct (по поводу таблицы Паде см. ро] ,[" 32] ,[23J ,[2−7]).

Одним из обобщений на многомерный случай классических аппроксимаций Паде являются совместные приближения нескольких функций рациональными функциями с общим знаменателем (см.ОЮ).

В § 5 главы Г изучается связь многомерных Рдробей с одним из, вариантов совместных приближений, который приспособлен для аппроксимации наборов функций в бесконечности (см. [1]). Для приближений такого рода в [2] введено понятие слабой совершенности системы функций. Справедлива

Теорема 7. Для того, чтобы система рядов ал вида

CXJ а, = Z Qi, — (i=<,., nO

Г" d была слабо совершенной, необходимо и достаточно, чтобы вектор

3 = разлагался в m-мерную Рдробь (0.4), в —" которой р0- 0, а векторы при к>0 устроены так: все их компоненты, кроме последних, — комплексные числа, а последние компоненты () ^ - линейные функции.

Вторая глава диссертации посвящена изучению сходимости Рдробей в точках комплексной плоскости (С, т. е. сходимости в этих точках последовательности подходящих дробей.

В то время, как в теории одномерных непрерывных дробей имеется значительное число содержательных теорем о сходимости, вопросы сходимости многомерных непрерывных дробей изучены в меньшей степени. Помимо работ Перрона [24], [2 5J, в которых, в частности, была доказана сходимость правильных и изучены свойства сходимости периодических числовых многомерных непрерывных дробей, можно назвать результаты Озерского и де Брюена (первым были обобщены на двумерный случай теорема Коха и признак сходимости Зейделя — Штерна (см. [1*5]), вторым изучались многомерные С-дроби (см. т).

Г,

В настоящей работе оказалось удобным рассмотреть два понятия сходимости mмерных непрерывных дробей. Первое — это традиционно рассматриваемое понятие сходимости в (С и второе — понятие сходимости в wl—мерном комплексном проективном пространстве рассматриваемом как комплексное многообразие. При этом считаем, что IL, погружено в С|Р~ т. е. С гомеоморфно некоторой гиперплоскости^pC С. IP^: (С — •

В одномерном случае наиболее простой после класса обрывающихся непрерывных дробей и вместе с тем важный класс — это периодические непрерывные дроби. В правильные периодические непрерывные дроби раскладываются вещественные квадратичные иррациональности (теорема Лагранжа, см. 5]), а периодические JPдроби связаны с теорией абелевых интегралов (см., а также статью Чеботарева Q ^ 1).

Многие распространенные функции раскладываются в так называемые предельно периодические непрерывные дроби, т. е. непрерывные дроби (0.1), для которых существует натуральное числоТ (период) такое, что t К-«<=*> i-t К 1 t

Свойства сходимости таких непрерывных дробей описываются теоремой, доказанной в работах Ван Флека и Прингсхейма (см. [ bO[2. также [б]) и ее обобщением на предельно периодические непрерывные дроби (О, Г) с произвольным периодом Т~, данным Зацом в [29] .

Теорема (Ван Флек-Прингсхейм)• Предельно периодическая Сдробь d + — о с, г i + йкк Cw= С е (СМо}

И. оо

0.9)

1 + сходится в комплексной плоскости, из которой удалена полупрямая? ? | afajc, сг! ^ 4 J. Результаты о разложении в предельно периодические Р-дроби марковских функций были получены Видомом в работе [ЗЗ].

В главе П настоящей диссертации изучается сходимость функциональных и числовых предельно периодических непрерывных дробей. Одна часть доказанных там утверждений, относящаяся к структуре множества сходимости, в значительной степени опирается на специфический вид JP-дробей. Утверждения этой части будут приведены потом. «Цругая часть, приводящаяся во введении под названием теоремы А, касается сходимости произвольных непрерывных дробей. Чтобы сформулировать ее, введем необходимые понятия.

Непрерывную дробь (0.4) с элементами р^ век~ торами из С ^ назовем предельно периодической с периодом Т~ ее-(Те Л/). если существуют пределы

Р^т — 6 с

— tlV*m t=i,., T). (о.ю)

Для предельно периодической непрерывной дроби определим зависящие лишь от ее предельных величин матрицы

Н'

0 С 0 1

0 i 1 0 фл X •1−1 т-1 1 ->" '¦) 1 ?

0 • 1 Ф J о. и) m в ^.&bdquo-т, (о.н) t i t-HЫ-Т-1 и многочлен

QOO= eleKW^E), te (•<,., T], (0.12) который будем называть ее характеристическим многочленом (здесь {Г? GL (vvt-HjC) — единичная матрица).

Теорема А. Пусть для числовой предельно периодической непрерывной дроби выполнены условия:

1. ее характеристический многочлен обладает единственным и однократным корнем *)[ 0 с максимальным модулем;

2. для любого х? ,. у Т j вектор (о, С,. ,)? С лежит в максимальном инвариантном подпространстве матрицы, не содержащем собственного вектора, отвечающего числу, тогда данная непрерывная дробь сходится в смысле С Р m скорость ее сходимости к пределу — геометрическая, с показателем, равным модулю отношения второго по величине корня характеристического многочлена к Я0 .

Теорема, А содержится в теореме 9, которую мы приведем ниже. Из работ Перрона вытекает, что приведенную теорему сколько-нибудь значительно усилить нельзя:

Теорема В. Пусть числовая предельно периодическая непрерывная дробь оказалась периодической и для нее не выполнено условие теоремы Атогда, если все максимальные по модулю корни ее характеристического многочлена однократные, то непрерывная дробь расходится в смысле (СРти, следовательно, в смысле (С**1.

Можно заметить, что теорема, А без каких-либо изменений переносится на числовые предельно периодические непрерывные дроби с произвольными не равными нулю числителями b ~- Г- ' e CM, r

1±^ в определении предельной периодичности для них нужно в дополнение к (0.10) потребовать существования пределов Xim. с ;

Ь*,"., Т).

Все рузультаты в главе П формулируются для Рдробей. Определение понятия предельной периодичности для них согласуется с приведенным выше определением, данным душ числовых непрерывных дробей. Предельно периодическими названы Рдроби (0.4), для которых в каждой точке Ъ? (С имеются пределы (О.Ю), а компоненты векторов ^ (-(: — Л >. — это многочлены, удовлетворяющие неравенствам

Последнее требование означает, что составленная из векторов «т j jp-rпериодическая непрерывная дробь Р. 1 V должна быть JPдробью.

В каждой точке Z? (С матрицы^Р, YH, и характеристи П ческие многочлены для предельно периодическихJrдробей определяются снова по формулам (0. -И), (СМ2).

В леммах 6-ГО устанавливается структура множества, на котором сходится предельно периодическая Р-дробь. Оно состоит из конечного числа связных компонент областей к 0 >. ^ ^ (La Ж)" причем лишь одна из них — компонента 1lQ — неограни-чена. Дополнение в С к этому шожеству состоит из конечного числа замкнутых ограниченных кусков алгебраических кривых (множество 1е) и конечного множества Ь. В точках множества 1о не выполнено требование I теоремы А, а в точках множества Атребование 2. Поведение предельно периодической непрерывной дроби вне множества X I) Ь описывает о

Теорема 9. Равномерно внутри каждой из конечного числа связных компонент открытого множества С 4 (I0Ua) предельно периодическая векторная Рдробь сходится в смысле С IP™ к голоморфной функции из данной компоненты в С (Р — скорость сходимости — геометрическая, с показателем, равным модулю отношения второго по величине корня характеристического многочлена к его максимальному по модулю корню.

С точки зрения теории функций важным представляется вопрос о сходимости непрерывной дроби в смысле сходимости в (D m. Частичный ответ на этот вопрос душ предельно периодической непрерывной дроби дает следующий критерий.

Теорема 10. Предельно периодическая р> -дробь сходится в смысле (С ^ во всех (за исключением не более чем счетного числа точек) точках компоненты IX и тех компонент Ы ^ (С? LJ), где она сходится в смысле (С хотя бы в одной точке. Вектор-функции, к которым сходится непрерывная дробь, продолжаются на всю соответствующую компоненту до вектор-функций с мероморфными там компонентами.

В конце главы Г (см. предложение I) утазан класс предельно периодических непрерывных дробей, для которых множество с4 (i0ua) связно: с ^ (tpua) — 1/l .Для непрерыв

Г m ных дробей из этого класса вопрос об их сходимости в решается полностью. В случае, если размерность m непрерывной дроби больше единицы, указанный класс сравнительно узок, но в случае па -1 им исчерпываются все предельно периодические непрерывные дроби.

В заключение я выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Е. М. Никишину за постоянное внимание и поддержку.

1. Никишин Е. М. О системе марковских функций.- Вестник МГУ, сер. 1. математика — механика, 1979, $ 4, с. 60−63.

2. Никишин Е. М. О совместных аппроксимациях Паде, — Матем. сб., 1980, 113(155), В 4(12), с. 499−519.

3. Озерский А. В. Цепные алгоритмы, — Рига, изд-во Латв. университета, 1981.

4. Рубан А. А. Алгоритм Перрона для р-адических чисел и некоторые его эргодические свойства.- Доклады АН СССР, 1972, т. 204, JS I, с. 45−48.

5. Хинчин А. Я. Цепные дроби.- М., Наука, 1978, 112 с.

6. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа.- М., Гостехиздат, 1956.

7. Чеботарев Н. Г. О вычислении абелевых интегралов через элементарные функции.- Успехи матем. наук, 1947, т. 2, вып. 2(18), с. 3−20.

8. Чебышев П. Л. О разложении функций в ряды при помощи непрерывных дробей.- Прил. к IX тому Записок Имп. Академии наук, 1866, J? IПоли, собрание соч. П. Л. Чебышева, т. II Математический анализ, М.-Л., изд-во Академии наук СССР, 1947, с. 416 430.

9. Abel N.H. Sur 1'integration de la formule differentiell gckoz/^, R et J5 etaut des fonctions entieres.-Jour. fur Math., 1826, v. 1, p. 185−221 .

10. Baker G.A. The Pade approximants in theoretical physics.-New York, Akademik Press, 1975, 306 p.

11. Euleri L. De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda.- Euleri comentationes arichmeticae collectae, T. 2, С.-П., 1849, c. 99.

12. Franc E. Corresponding type continued fractions.- Amer. Jour. Math., 1946, v. 68, P 1, p. 89−108.

13. Jacobi C.G.J, liber die Auflosung der Gleihungx i- -t-cx! * — -f 'It Journal fur die reine 1 г к. > *und angevandte Mathematik, 1868, Bd. 69, s. 21−28.

14. Jacobi C.G.J. Allgemeine Theorie der Kettenbruchahnlichen Algorithmen, in v/elchen jede Zahl aus drei vorgergehenden gebildet wird.- Journal fur die reine und angevandte Mathematik, 1868, Bd. 69, s. 29−64.

15. Leighton V., Scott W.T. A general continued fraction expansion.- Bull. Am. Math. Soc., 1939, v. 45, 8, p. 596−605.

16. Magnus A. Certain continued fractions, associated with Pade table.- Math. Zeitschrift, 1962, v. 78, H* 4, s. 361−374.

17. McCabe J.H., Murphy J.A. Continued fractions which correspond to power series expansions of two points.- Jour. Ins.Math. Appl., 1976, v. 17, 2, p. 233−247.л

18. Paley R.E.A.C., Ursell H.D. Continued fractions in several dimensions.- Proc. Cambridge Phil. Soc., 1930, v. 26, № 2, p. 127−144.

19. Perron 0. Die Lehre von den KettenbruchenBand II.- Stuttgart, Teubner Verlagsgesellshaft, 1957, 316 s.

20. Perron 0. Uber die Konvergenz der Jacobi Kettenalgorithmen mit komplexen Elementen.- Sitzungsberichte Bayer. Akad. Wiss. Munchen (raath.-phys. Klasse), 1907, v. 3, № 3, s. 401−482.

21. Perron 0. Grundlagen fur eine Theorie des Jacobischen Ketten-bruch AlgorithmusMath. Ann., 1907, v. 64, Nfi 6, s. 1−76.

22. Pringsheim A. Uber Konvergenz und functionen-theoretishen Character gewisser Limitar-periodisher Kettenbruche.-Sitzungsberichte Bayer. Akad, Wiss. Miinchen (math.-phys. Klasse), 19Ю, v. 6, p. 1−52.

23. Schweiger P. The metrical theory of Jacobi-Perron Algorithm.-Lecture Notes in Math., v. 334″ Berlin, Springer-Verlag, 1973, 111 p.4

24. Szasz 0. Uber die Erhaltung der Konvergencz unendlicher Kettenbruche bei independenter Veranderlichkeit aller ihrer Element е.- Jour, fur die reine und angewandte Mathematik, 1917, v. 147, 1, s. 132−160.

25. Thron W.J. Some properties of continued fractions 1+dQz+K (z/1+dnz).- Bull. Am. Math. Soc., 1948, v. 54, №¦ 2, p. 206−218.

26. Van Vleck E.B. On the convergence of algebraic continued fractions, whose coefficients have limiting values.- Trans. Am. Math. Soc., 1904, v. 5, N& 3, p. 253−262.

27. Wall H.S. Analytic theory of continued fractions.- New York, Van Nostrand, 1948, 433 p.

28. Widom H. Extremal polynomial associated with a system ofcurves in the complex plane.- Adv. Math., 1969, v. 3, p. 127−232.

29. Pade Approximation and its ApplicationsProceedings of a Conference held in Antwerp., Belgium, 1979. Berlin, Sprin-ger-Verlag, 1979.

30. Парусников В. И. Алгоритм Якоби Перрона и совместное приближение функций.- Матем. Сб., 198!, т. 114(156)2,с. 322−333.

31. Парусников В. И. Предельно периодические многомерные непрерывные дроби.- Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, 1983,62, 24 с.