Метод прямых и метод сеток для квазилинейных уравнений параболического типа с неклассическими краевыми условиями в классе обобщенных решений

В последнее время все больший интерес исследователей вызывают задачи математической физики с нелокальными краевыми условиями. Классическим примером такого рода задач является задача Ионкина-Самарского [16] «описывающая процесс распространения тепла в тонком нагретом стержне, когда на одном конце стержня поддерживается нулевая температура и потоки тепла на концах стержня равны. Данная задача имеет большое значение также и в физике плазмы — является математической моделью процесса диффузии частиц в турбулентной плазме. Другим примером нелокальных краевых задач является задача Бицадзе-Самарского [? ], которое возникает при решении задач теории упругости и теории оболочек, например: при исследовании уравнения статики однородного и изотропного тела, при нахождении упругого равновесия тела и т, д, [12.] • Особенностью указанных выше краевых задач является их несамосопряженность. Отсюда следуют трудности теоретического изучения этих задач и их дискретных аналогов /разностных схем/. Результаты общей теории разностных схем и дифференциальных уравнений не переносятся на эти задачи* Трудности, связанные с несамосопряженностью усугубляются в случае, когда коэффициенты в исходных уравнениях являются разрывными, а правые части обобщенными функциями, что нередко бывает на практике. Надо отметить, что результаты исследования нелокальных краевых задач математической физики в классе обобщенных решений в данное время в литературе отсутствуют. Поэтому проблема исследования нелокальных краевых задач математической физики в обобщенной постановке и построения эффективных разностных схем для численного решения этих задач, является актуальной.

Целью данной диссертации является:

— получение теорем существования и единственности обобщенных решений для обыкновенного квазилинейного уравнения второго порядка с неклассическим краевым условием Ионкина-Самарского в пространствах W^ (o" О и (О" l) *.

— исследование краевой задачи для квазилинейного уравнения параболического типа с неклассическим условием Ионкина-Самарс.

2 1/ кого в классе обобщенных решений из ' ((?) 1-ф.

— доказательство однозначной разрешимости нелокальной краевой задачи Бицадзе-Самарского в пространстве ' (Q? 1-х)•.

— построение и исследование схем метода прямых и разностных схем для краевых задач Ионкина-Самарского и Бицадзе-Самарского в классе обобщенных решений".

Приведем краткий обзор литературы, относящейся к предмету исследований. Теоретическим вопросам существования и единственности регулярного решения нелокальных краевых задач Ионкина-Самарского и Бицадзе-Самарского посвящены работы A.A. Caмарского, A.B. Бицадзе, Д. Г. Гордезиани, Н. И. Ионкина, Е. И. Моисеева и др. В работах [16,1?] для нахождения регулярного решения задачи Ионкина-Самарского предложен метод, основанный на возможности разложения функции, задающей начальные условия задачи, в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций. Там же получены априорные оценки устойчивости решения задачи по начальным данным и правой части в норме Ар (О, l). а также в нормах С (О, l) и С (%т) • Задача Бицадзе-Самарского впервые рассмотрена в [2] для уравнения Пуассона в прямоугольнике, в которой доказано существование и единственность регулярного решения рассматриваемой задачи.

Б работах [10,11,12] исследованы вопросы существования и единственности регулярных решений эллиптических и параболических уравнений с условием Бицадзе-Самарского, а также некоторыми их обобщениями. В статье [12] рассматривается краевая задача для уравнений эллиптического типа с нелокальным условием Бицадзе-Самарского. Для ее решения предложен итерационный метод, позволяющий не только приближенно находить решение, но и доказать его существование. В работах [ кроме теоретического исследования задачи Ионкина-Самарского и Бицадзе-Самарского рассмотрены вопросы численного решения этих задач /построение разностных схем и проведение численных расчетов/. Так, в [l8] для численного решения задачи Ионкина-Самарского, построено и исследовано однопараметрическое семейство разностных схем, изучен вопрос об устойчивости решения по правой части уравнения и начальному условию. Получены априорные оценки решения разностных схем в сеточной норме пространства L^. Исследована сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи. Получена оценка скорости сходимости, по порядку совпадающая со скоростью сходимости схем с весами для классической первой краевой задачи теории теплопроводности /см. напр.

149] /. В f 18] и выше названных работах, где исследованы разностные схемы для численного решения нелокальных краевых задач, использован известный традиционный подход получения оценки скорости сходимости, а это приводит к завышениям требований на гладкость решения дифференциальной задачи, которой, как правило, на самом деле нет. Причиной является то, что в соответствующие априорные оценки погрешность аппроксимации входит в форме, содержащей производные высокого порядка от решения исходной задачи. Такая же ситуация до недавнего времени была характерна и для задач с классическими краевыми условиями. Поэтому одним из основных вопросов в современной теории метода сеток является установление оценок скорости сходимости разностных схем, согласованных с гладкостью искомого решения.

В работе [38] предложен подход к построению и исследованию схем метода прямых для уравнений эллиптического типа с самосопряженными краевыми условиями, основанный на использовании операторов точных разностных схем, и для таких схем установлены оценки скорости сходимости, согласованные с гладкостью решения исходной задачи, т. е. оценки вида где Ц — решение дифференциальной задачи, у — решение аппроксимирующей разностной схемыи Н'!!^-^^.

— нормы в соболевских пространствах функций непрерывного и дискретного аргументов. Эта идея получила свое развитие в работах И. П. Гаврилюка, Р. Д. Лазарова, С. А. Войцеховского, Н. В. Слушаенко и др, [31,32- 33, Щ ] • П°Д согласованными оценками скорости сходимости разностных схем для уравнений параболического типа подразумеваются оценки вида 0< 5 ^ сГ /.

1И1 л* «II* II ~ аоРт в соболевских пространствах функций непрерывного и дискретного аргументов, В работе [01] исследована разностная схема для уравнений параболического типа с.

— 7 самосопряженными краевыми условиями и для этой схемы получена оценка вида /01/. В настоящей работе подход, разработанный в Г3 8] применен к уравнениям параболического типа с несамосопряженными краевыми условиями. В работе получена оценка вида /01/ для чисто неявной разностной схемы, аппроксимирующей краевую задачу для квазилинейного уравнения параболического типа с нелокальным условием Бицадзе-Самарского, когда решение исходной дифференциальной задачи принадлежит весовому пространству Ал^ (0Т? Разностная схема г построенная для задачи.

Ионкина-Самарского, не обладает согласованными оценками скоро" сти сходимости. Для нее получена оценка и-Ч^ммм,^. точность которой установлена с помощью численного эксперимента.

Понижение порядка скорости сходимости здесь повидимому имеет ту же природу" что и в эллиптических задачах с вырождениями.

7,8,9] •.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 6 2. наименований. Во введении кратко обсуждаются актуальность проблемы и дается обзор литературы, касающейся данной проблемы. В § 1 главы I, которая носит название «Решение обыкновенного квазилинейного уравнения второго порядка с краевым условием Ионкина-Самарского в пространствах (0,1) и (0,1) * рассматривается уравнение.

1. Акопян К).Р., Оганесян Л. А. Скорость сходимости вариационно-разностных схем для двух линейных параболических уравнений. — В сб. «Вариационные разностные методы решения задач математической физики». Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1976, с.27−36.

2. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических задач. Докл. АН СССР, 1968, т.185, М, с.739−740*3* Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. — 204 с.

3. Бицадзе A.B. К теории нелокальных краевых задач. Докл. АН СССР, 1984, т.277, №L, с.17−19.Вазов В., Форсайт Да. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Изд-во иностр. лит., 1963. — 487 с.

4. Гаврилюк И. П., Лужных В. М., Макаров В. Л. Разностный метод решения задачи Штурма-Лиувилля с вырождением на границе. Ч.ПтК. Изд-во Вища школа, сб. «Вычисл. и прикл. математика», вып.41, 1980, с. 31 39.

5. Гаврилюк И. П. Лужных В.М. Макаров В. Л. Точные и усеченные разностные схемы для одного класса задач Штурма-Лиувилля с вырождением. «Дифференц. уравнения», 1980, т.16,№ 7,с.1265 -1275. 99.

6. Гордезиани Д. Г. Об одном методе решения краевой задачи Бицадзе-Самарского. Семинар! Йнст-та прикл.матем.им.И. Н. Векуа при Тбилисском ун-те.Аннот.докл., 1970, 2, с.39−40.

7. Гордезиани Д. Г., Джиоев Т. З. 0 разрешимости одной краевой задачи для нелинейных уравнений эллиптического типа. -Сообщ. АН ГССР, 1972, т.68, №, с.289−292.

8. Гордезиани Д. Г. 0 методах решения одного класса нелокальных краевых задач. Ротапринт ИПМ им. акад. И. Н. Векуа, ТГУ, 1981, 32 с.

9. Годунов с.К. Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. — 440 с.

10. Ионкин Н. И., Моисеев Е. И. 0 задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями. «Дифференц. уравнения», 1979, X, № 7, с.1285−1295.

11. Ионкин Н. И. Разностные схемы для одной неклассической задачи. Вестн. Моск. ун-та. Сер. Вычисл. матем. и кибернетика, 1977, Л2, с.20−32.

12. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1971. 576 с.

13. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. -512 с.

14. Канторович Л. В. Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. — 741 с. 22 • Курант Р. Гильберт Д. Методы математической физики, т. II, М.: Мир, 1964. — 830 с.

15. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. — 447 с.26• Кошляков Н. С. Глинер Э.Б. Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.:. Наука, 1970. 712 с.

16. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространства.- М.: Наука, 1971. 464 с.

17. Крейн С. Г. Функциональный анализ. М.:. Наука, 1972. 554 с.

18. Ладыженская O.A. Солонников В. А., Уральцева Н.Н.Линей-ные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. — 736 с.

19. Лазаров Р. Д., Макаров В. Л. Разностные схемы второго порядка точности для осесимметричного уравнения Пуассона на обобщенных решениях в Ц. Докл. АН СССР, 1982, т.262,2, с.22−26.

20. Лазаров Р. Д. Макаров В.Л. Самарский A.A. 0 построении и исследовании однородных разностных схем. Математический сборник, 1982, М, с. 469−480.

21. Лионе 1.-Л. Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971, — 372 с.

22. Лисковец O.A. Метод прямых /обзор/. «Дифференц. уравнения», 1965, I, 12, с.1662−1678.Ляшко И. И., Макаров В. Л., Скоробогатько A.A. Методы вычислений. Киев, Изд-во Вища школа, 1977. — 408 с.

23. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. — 510 с.

24. Макаров В. Д., Самарский A.A. Применение точных разностных схем к оценке скорости сходимости метода прямых. Препринт № 13, ИПМ АН СССР им. М. В. Келдыша, 1979. — 20 с.

25. Макаров В. Д. Слушаенко Н.В. Согласованные оценки скорости сходимости метода сеток для квазилинейных уравнений эллиптического типа с большой константой Липшица. «Дифференц. уравнения», 1983, XIX, № 7, с.1246−1250.

26. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. — 391 с.

27. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. -М.: Высшая школа, 1977. 430 с.

28. Михлин С. Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.

29. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.- Наука, 1969. 526 с.

30. Напсо A.B. 0 задаче Бицадзе-Самарского для уравнения параболического типа. «Дифференц. уравнения», 1977, 4, с.761−762.

31. Раймондас Ч* Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. «Дифференц.уравнения и их приложения». Вильнюс. 1982, 32, с.134−144.

32. Самарский A.A.

Введение

в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. — 552 с.

33. Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. — 590 с.

34. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973. 416 с.

35. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск. Изд-во СО АН СССР, 1962. 103.

36. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. М.: Мир, 1983. — 432 с.

37. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980. — 463 с.

38. Тихонов A.B., Самарский А. А, Об однородных разностных схемах высокого порядка точности на неравномерных сетках. «Журнал вычисл. матем. и матем. физики», 1961, тД, ЖЗ, с.425−440.

39. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Об однородных разностных схемах высокого порядка точности. Докл. АН СССР, i960, т.131, ЖЗ, с.514−517.

40. Фаддеев Д. К., Вулих Б. З., Уральцева H.H. и др. Избранные главы анализа и высшей алгебры. ЛГУ, 1981. — 200 с.

41. Фрязинов И. В. О разностной аппроксимации граничных уеловий для третьей краевой задачи. «Журн. вычисл. матем. и матем. физики», 1964, т.4, № 6, C. II06-III2.

42. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: 1948. — 456 с.60• Хатсон В., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983. — 432 с.

43. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. — 720 с.

44. Шополов H.H. Смешанная задача для уравнения теплопроводности с нелокальным начальным условием. «Докл. Болт. АН», 1981, 34, 7, с.935−936.