Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Математическое моделирование нелокальных физических процессов в средах с фрактальной структурой

Диссертация: Математическое моделирование нелокальных физических процессов в средах с фрактальной структурой
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Необходимость разработки новых математических методов и высокоэффективных вычислительных алгоритмов востребовали проблемы моделирования нелокальных процессов и явлений фрактальной природы и, в первую очередь, процессы тепломассообмена в средах с фрактальной организацией и памятью, аномального переноса частиц с конечной скоростью свободного движения,. В частности, изучение свойств… Читать ещё >

Содержание

  • Глава I. Фрактальные дифференциальные уравнения состояния и переноса 30 1.1.0 дифференциальных уравнениях состояния дробного порядка в сплошных средах
    • 1. 2. Об одном интегральном представлении решений уравнения состояния Барретта
    • 1. 3. О модельных уравнениях переноса в средах с памятью
    • 1. 4. Уравнение неразрывности в средах с фрактальной структурой и обобщенное уравнение переноса дробного порядка
    • 1. 5. Об эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка
    • 1. 6. О классе фрактальных уравнений с частными производными и математических моделях диффузионного переноса
  • Глава II. Качественные свойства базовых дифференциальных уравнений математических моделей фрактальных процес
    • 2. 1. Задача Лыкова и качественные свойства ее решения
    • 2. 2. Принцип экстремума для фрактальных уравнений параболического типа
    • 2. 3. Принцип экстремума для фрактального уравнения эллиптического типа
    • 2. 4. Видоизмененные: задачи Коши и Дирихле для уравнения Барретта
    • 2. 5. Смешанная задача для фрактального волнового уравнения
    • 2. 6. Энергетическая оценка для многомерного фрактального оператора диффузии
    • 2. 7. Смешанные краевые задачи для модельного гиперболо-параболического уравнения
    • 2. 8. Структурные и качественные свойства решений дробного осцилляционного уравнения и фрактальных тригонометрических функций
    • 2. 9. Об уравнении фрактального осциллятора
    • 2. 10. Обобщенное уравнение одномерной фильтрации в средах с фрактальной структурой
    • 2. 11. Качественные и структурные свойства фрактальных моделей адиабатического процесса
  • Глава III. Модельные уравнения переноса в средах с фрактальной структурой и обобщенные законы Кольрауша-Уиль-ямса-Уоттса
    • 3. 1. Модельные уравнения переноса в средах с фрактальной структурой
    • 3. 2. Обобщенные законы Кольрауша-Уильямса-Уоттса
    • 3. 3. К проблеме корректного выбора уравнения состояния вещества
    • 3. 4. Об одном классе уравнений состояния вещества
    • 3. 5. Математическая модель распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения
    • 3. 6. Об одном классе реологических уравнений состояния
  • Глава IV. Математическая модель теплообмена в составной среде с идеальным контактом
    • 4. 1. Построение математической модели
    • 4. 2. Условия линейного сопряжения
    • 4. 3. Постановка краевых задач для смешанного типа уравнения теплопроводности с нелокальным условием сопряжения
    • 4. 4. Качественный анализ модельного варианта смешанной краевой задачи с нелокальным условием сопряжения
    • 4. 5. Алгоритм редукции задачи о распределении температуры в ^ точке идеального контакта к смешанной задаче с нелокальным условием линейного сопряжения
    • 4. 6. О фундаментальном соотношении между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае обобщенного закона Фурье
    • 4. 7. Фундаментальное соотношение между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае закона Фурье
    • 4. 8. Анализ фундаментальных соотношений между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы
    • 4. 9. Об одной математической модели переноса тепла в почве
  • Глава V. О линейных уравнениях смешанного типа, моделирующих тепловые процессы, протекающие в режимах с обостре
    • 5. 1. Линеаризация нелинейного уравнения теплопроводности с нелокальным условием Самарского
    • 5. 2. Замыкающие соотношения для смешанного типа уравнений теплопроводности первого и второго рода
    • 5. 3. Критерии ограниченности функции Трикоми для уравнения
  • Лаврентьева-Бицадзе в угловых точках области его задания

Математическое моделирование нелокальных физических процессов в средах с фрактальной структурой (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Диссертация посвящена разработке фундаментальных основ математического моделирования нелокальных процессов теплои массопереноса в средах с фрактальной структурой — в сложных системах, моделируемых фракталамиисследованию начальных и смешанных краевых задач для основных типов локальных и нелокальных дифференциальных уравнений состояния и переносаразличным и существенно новым обобщениям весьма важного в физике фракталов закона Кольрауша-Уильямса-Уоттсаразвитию и разработке качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепломассообмена в составных средах, решения задачи определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучениякачественному анализу линейных уравнений смешанного типа, моделирующих экстремальные процессы, протекающие в режимах с обострением.

Необходимость разработки новых математических методов и высокоэффективных вычислительных алгоритмов востребовали проблемы моделирования нелокальных процессов и явлений фрактальной природы и, в первую очередь, процессы тепломассообмена в средах с фрактальной организацией и памятью [71], аномального переноса частиц с конечной скоростью свободного движения [117], [128], [135]. В частности, изучение свойств капиллярно-пористых сред, обладающих фрактальной структурой, требует разработки новых математических технологий, решений ряда фундаментальных проблем, которые практически не поддаются теоретическому исследованию стандартными методами статистической физики [54]. Эти проблемы приводят к принципиально новым начальным, краевым и смешанным задачам для фрактальных дифференциальных уравнений и уравнений смешанного типа первого и второго рода. В частности, адекватным аппаратом аналитического описания аномальной диффузии, обнаруженной в широком разнообразии физических процессов, служат нагруженные дифференциальные уравнения, содержащие частные производные дробного порядка, а в случае отсутствия диффузии через фрактальную границу двух сред, где эффективный коэффициент диффузии идеальных молекул обращается в нуль (см. [1]), роль такого математического аппарата может сыграть уравнение параболического типа со знакопеременной характеристической формой [70, с. 56].

Необходимость проведения фундаментальных исследований по теме диссертационной работы стала очевидной, после того как выяснилось, что понятие фрактала становится одной из парадигм современной фундаментальной и экспериментальной физики, радиофизики и радиолокации, а дробное исчисление — математической основой физики фракталов, геотермии и космической электродинамики [21], [51], [69], [93], [99].

Работа выполнена по основному направлению научной деятельности Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН «Математическое моделирование нелокальных экстремальных процессов в системах с фрактальной структурой и памятью», которое утверждено Постановлением Президиума РАН № 227 от 27.06.2006 г.

Актуальность темы

диссертационной работы подтверждают и многочисленные публикации отечественных и зарубежных авторов, среди которых следует отметить: работы B.JI. Кобелева, O.A. Кобелева, Я. Л. Кобелева, Л. Я. Кобелева, Е. П. Романова [32]—[38], [106], посвященные фрактальной диффузиианалитический обзор Л. М. Зеленого и A.B. Милованова [21] по актуальным проблемам фрактальной топологии и обратной кинетики (от теории перколяции к проблеме космической электродинамики) — работы Р. П. Мейланова [54]—[56] и P.P. Нигматуллина [93], [94], [95]- монографии А. А. Потапова с библиографическим списком в 1017 наименований [99], A.B. Псху [101] и Л. И. Сербиной [116]- исследования С. Ш. Рехвиашвили [105], Р. Т. Сибатова, В. В. Учайкина [117] по фрактальному переносу в токопро-водящих полимерах и неупорядоченных полупроводниках.

На актуальность разработки численных методов решения уравнений диффузии дробного порядка обращено внимание в работах К.В. Oldham, J. Spanier [156], R. Gorenfio [151], B.M. Головизнина, В. П. Киселева, И.А. Ко-роткина, Ю. И. Юркова [8], [9] и М. Х. Шханукова [139].

Об интенсивности исследований в области фрактальной диффузии свидетельствует и тот факт, что на запрос «Fractal AND diffusion» в Научной Электронной Библиотеке (http://elibrary.ru) найдено 5282 работы.

На востребованность использования концепции фрактала в физике. конденсированной среды и на то, что анализ интегро-дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка представляет весьма трудную задачу, обращено внимание в работе А. И. Олемского, А. Я. Флата, опубликованной в 1993 г. в журнале «Успехи физических наук» [96].

Основной целью диссертации является разработка новых качественных и приближенных аналитических методов и алгоритмов моделирования и исследования нелокальных физических процессов и их математических моделей, которые задаются как локальными, так и нелокальными дифференциальными операторами, связывающими значения интенсивных переменных в различных точках пространства-времени.

Для достижения основной цели используются: основные принципы метода математического моделирования и вычислительного эксперимента как двуединого процесса создания моделей и их исследования средствами математических наукконцепции фрактальной геометрии и дробного исчисленияметод энергетических оценок и интегральных уравненийпринцип Зарембы-Жиро и принцип экстремума для оператора дробного дифференцированиякачественные свойства специальных функций и функции Миттаг-Леффлераметод Фурье и метод функции Гринаметоды теории нагруженных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными смешанного типа, разработанные и развитые в известных исследованиях Ф. Трикоми [124], A.B. Бицадзе [5], М. С. Салахитдинова [110], [111], Т. Д. Джураева [13], A.M. Нахушева [70], Е. И. Моисеева [58], Т. Ш. Кальменова [29], М. Т. Дженалиева [12], В. А. Елеева [15], А. Н. Зарубина [18], [19], JI.C. Пулькиной [102], O.A. Репина [104], К. Б. Сабитова [108], Л. И. Сербиной [116], М. М. Хачева [134].

В диссертации впервые разработаны следующие, выносимые на защиту, существенно новые теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в области математического моделирования:

1. Исследован широкий класс фрактальных дифференциальных уравнений состояния сплошных сред и нелокальное волновое уравнение с дробной производной по времени, найдено эффективное интегральное представление решения уравнения состояния Барретта через давление и функцию типа Миттаг-Леффлера;

2. Доказана теорема эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка и установлена связь уравнений микротурбулентной аномальной диффузии с базовыми нагруженными дифференциальными уравнениями математических моделей эридитарных явлений;

3. Разработан конструктивный алгоритм решения смешанной начально-краевой задачи для уравнения Бицадзе-Лыкова, обнаружено экстремальное свойство потока влаги в коллоидном капиллярно-пористом теле и доказан принцип экстремума для широкого класса фрактальных уравнений с частными производными параболического и эллиптического типов;

4. В локальной постановке сформулированы задача Коши, задача Дирихле и начально-краевые задачи для дифференциального уравнения Бар-ретта, фрактального волнового уравнения и эталонного уравнения смешанного типа с нелокальным условием Самарского и предложены эффективные аналитические методы их решения, получена энергетическая оценка для многомерного оператора диффузии дробного порядка, из которой следует единственность решения первой краевой задачи в видоизмененной постановке;

5. Исследованы структурные и качественные свойства решений дробного осцилляционного уравнения, обобщенного уравнения фильтрации в средах с фрактальной структурой, фрактальных тригонометрических функций, обобщенной функции релаксации, фрактальных моделей адиабатического и диффузионно-релаксационных процессовнайден новый подход к решению проблемы корректного выбора уравнения состояния вещества при высоких давлениях, позволивший найти и описать трехпараметриче-ский класс масштабных дифференциальных уравнений дробного порядка, включающий уравнение состояния хладона Ш34а;

6. Предложены аналитический и вычислительный алгоритмы определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения;

7. Реализована корректная постановка краевых задач для смешанного типа уравнения теплопроводности, найдено фундаментальное соотношение между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составных сред;

8. Решена проблема эффективной линеаризации основополагающих уравнений теории режимов с обострением, установлено, что базовыми уравнениями математических моделей широких классов физических процессов являются линейные локальные и фрактальные дифференциальные уравнения смешанного типа первого и второго рода.

Основные научные результаты научно-квалификационной работы имеют теоретическую ценность и могут найти применение в развитии фундаментальных основ математического моделирования фрактальных объектов и наносистем, странных процессов переноса и процессов, протекающих в режимах с обострением, теории нагруженных дифференциальных уравнений [12]. Практическую ценность, наряду с теоретической, будут иметь полученные в диссертации обобщенный закон движения границы раздела фаз (§ 1.6), обобщенный закон Пуассона (§ 2.1), обобщенные законы Кольрауша-Уильямса-Уоттса (§ 3.2) и уравнение состояния хладона Ш34а (§ 3.4).

В «Отчете о деятельности Российской академии наук» в 1996 году исследование класса дифференциальных уравнений состояния и переноса в системах с памятью отмечено как важнейший результат в области естественных наук (раздел прикладная математика, информатика, математическое моделирование, информационные системы), а в отчете РАН в 2006 году как основной результат названы построение и исследование существенно новых и разного уровня прогностической значимости математических моделей нелокальных процессов теплои массопереноса, протекающих в сплошных средах с памятью и в средах, имеющих пространственную и временную фрактальную организацию, выявление фундаментальных соотношений между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы в случае одномерного уравнения теплопроводности смешанного типа.

Достоверность результатов диссертации и адекватность математических моделей обеспечиваются строгими математическими доказательствами, вычислительными экспериментами и в отдельных случаях предельными переходами к эталонным вариантам, сравнением с данными экспериментов и натурных наблюдений.

Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях научно-исследовательского семинара и итоговых заседаниях Ученого совета Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН и прошли апробацию на следующих научных мероприятиях:

1. XIV Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». Терскол, РФ, 1992 г.

2. Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», АМАБЕ. Минск, Беларусь, 1999 г.

3. XVI Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». Черноголовка-Эльбрус, РФ, 2001 г.

4. Вторая международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2001 г.

5. XVIII Международная конференция «Физика экстремальных состояний вещества», Черноголовка-Эльбрус, РФ, 2003 г.

6. Международный Российско-Узбекский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, РФ, 2003 г.

7. Международный Российско-Казахский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, РФ, 2004 г.

8. XIX Международная конференция «Уравнения состояния вещества». Эльбрус, РФ, 2004 г.

9. III Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2006 г.

10. Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения академика Ильи Несторовича Векуа. Новосибирск, РФ, 2007 г.

В диссертацию вошли результаты, полученные автором как одним из исполнителей проектов 00−01−311-а «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепло-массопереноса в средах с фрактальной структурой» (20 002 002 гг.), 03−01−96 728-р2003юга «Разработка математических моделей автоматизированного мониторинга экологического состояния предгорных территорий и мероприятий по предотвращению или уменьшению до средних величин катастрофических последствий» (2003;2005 гг.), 06−01−96 625-рюга «Математические основы моделирования во фрактальных средах и их приложение к описанию физических, природных и социально-биологических систем» (2006;2008 гг.) и как руководителем проекта «Исследование краевых задач со смещением для канонических уравнений смешанного типа и их приложения к математическому моделированию энергои массообмена в составных средах с фрактальной структурой» (2006;2008 гг.), поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в монографии [71] и в работах автора [72]-[91]. Отдельные результаты диссертанта, изложенные в параграфах 1.1, 2.5, 2.8, 2.9, включены в книгу [69] (см. §§ 5.8, 5.13, 5.20, 5.21). Результаты пятой главы, оформленные в виде трех лекций, внедрены соискателем в учебный процесс Пятой Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» [53, с. 169].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 157 наименований.

Заключение

.

Итак, в диссертации получен ряд ключевых научных результатов, являющихся основополагающими в качественно новом и интенсивно развивающемся научном направлении: «Математическое моделирование нелокальных физических процессов и явлений в средах с фрактальной структурой и памятью». Эти результаты приведены во введении и они могут сыграть позитивную роль не только в названных в диссертации вопросах математического моделирования, разработки двумерных схем расщепления для вырождающихся эллиптических уравнений и уравнений параболического типа [121], но и при решении проблем моделирования массопереноса электрическим полем в многокомпонентных химически активных средах, интерпретируемых как системы с фрактальной организацией, когда диффузионные процессы на заключительных этапах эволюции (см. [17]) оказываются существенными. Математической основой научного направления являются дробное исчисление и теория нелокальных дифференциальных уравнений, в особенности нагруженных уравнений, содержащих операции дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования, которые автор называет фрактальными дифференциальными уравнениями.

Разработанные в диссертации новые математические модели фрактальных процессов являются универсальными, решения базовых фрактальных дифференциальных уравнений допускают различные физико-биологические интерпретации, и их анализ может привести к новым законам, адекватно действующим в той или иной области. Рассмотрим, например, простейшее, но вместе с тем важное дифференциальное уравнение дробного порядка со спектральным параметром Л: ЛN{x)t 0 < ж < ж*. (1).

Согласно теореме 2.4.1 общее решение уравнения (1) при 0 <? < 1 пред-ставимо в виде где a? = lim Dq^N^) — произвольная постоянная. Если ввести функцию х—"0.

Ехр/3(Л-ж) = ж^-1 ехр^(Лж/3), то любое решение N (x) уравнения (1) определяется формулой.

N (x) = a? Exp?{X-x). (2).

Функция Ехр/3(1-ж) = Ехр^(ж) = ехр/3(ж/3), которая при /5 = 1 совпадает с ехр ж, является решением уравнения DqxN (?) = N (ж). Поэто-. му дифференциальное уравнение (1) порядка? е]0,1[ представляют собой обобщенный экспоненциальный закон развития системы «вход-выход» с входным объектом ж €=]0, ж*] и выходным объектом N{x) 6 С]0, ж*]ПЬ[0, ж*]. Его по аналогии с уравнением показательного (экспоненциального) роста: N'(x) = N{ж) можно назвать фрактальным уравнением обобщенного экспоненциального роста (или развития).

Из формулы (2) при, А = 0, /? = 1 — а получаем степенной закон распределения вероятностей при статистическом описании катастроф и стихийных бедствий.

N (x) = a? х~а, где N (x) — число бедствий, в которых число погибших больше некоторой величины ж [59], [60].

Как продемонстрировано в диссертационной работе, при описании процессов, протекающих в средах с фрактальной организацией и памятью, важную роль может сыграть и другое обобщение классического уравнения показательного роста, когда вместо уравнения (1) берется уравнение duxN (?) = N (x): 0 <? <1, 0 < х < х*, (3) которое эквивалентно нагруженному дифференциальному уравнению (см. § 2.8): DgtN{?) = XN (x) + N (0)x~?/T (l — ?), 0 < ж < ж,.

Единственное решение N (x) задачи Коши N (0) = Nq для уравнения (3) задается формулой.

N (x) — NoE?(Xx^), (4) где E?(z) = Ei/?(z] 1) — функция Миттаг-Леффлера.

Обобщенной экспоненциальной функцией можно назвать и функцию.

ОО ?fc.

Exp^z) = E?(J) =? r{1X+?ky х > О- (5) к—0.

Функция (4) при Щ = 1, А = 1 совпадает с функцией (5). Легко видеть, что = Ехр^я), &ЕхрР (х) = ЕхрДж).

Когда, А = —, формула (4) записывается в виде.

N (x) = ЩЕхр13 (—сох). (6).

Формула (6) может быть интерпретирована как обобщенный закон радиоактивного распада, если х = t — время, Щ — число ядер в начальный момент времени t = 0, N (t) — число ядер, не распавшихся по прошествии времени t, ш13 — постоянная распада.

В заключение хочу выразить искреннюю признательность редактору моей монографии [71], заслуженному деятелю науки РФ, д.ф.-м.н. А. П. Солдатову и ее рецензентам докторам физ.-мат. наук А. И. Сухинову и А. И. Темрокову за высокую оценку моих научных результатов.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Г. Б., Максименко В. В. Отсутствие диффузии через фрактальную границу двух сред // Теоретическая и математическая физика. 2001. — Т. 128, № 2. — С. 309−320.
  2. М.И., Алик В. П., Марков Ю. И. Библиотека алгоритмов 5 161 006, в.2. М.: Сов. радио, 1976.
  3. Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. JL: Химия, 1986. — 144 с.
  4. Р.Л., Торвик П.Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием // Аэрокосмическая техника. — 1984. — Т. 2, № 2. — С. 84−93.
  5. A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. — 448 с.
  6. A.C., Мустелъ П. И., Ушаков К. З. Рудничная аэрология. -М.: Недра, 1971. 376 с.
  7. М.Б., Руденко О. В., Сухарков А. П. Теория волн. М.: Наука, 1979. — 282 с.
  8. В.М., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрков Ю. И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии. М.: ИБРАЭ, 2002. — 57 с.
  9. В.М., Короткий И. А. Методы численного решения некоторых одномерных уравнений с дробными производными // Дифферент уравнения. 2006. — Т42, № 7. — С. 907−913.
  10. Э. Курс математического анализа. Т III, ч. 1. M.-JL: ГТТИ, 1933. — 276 с.
  11. М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. — 677 с.
  12. М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Компьютерный центр ИТ-ПМ, 1995. — 270 с.
  13. Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979. 238 с.
  14. Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: ФАН, 1986. 220 с.
  15. В.А. О некоторых задачах со смещением для одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С. 22−29.
  16. В.Н., Калинин В. А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. М.: Наука, 1968. — 311 с.
  17. М.Ю. Математическое моделирование массопереноса электрическим полем в многокомпонентных химически активных средах. Автореферат дис.. уч. степени д.ф.-м.н. Ростов-на-Дону, 2006. 31 с.
  18. А.Н. Задача Коши для дифференциально-разностного нелокального волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2005. -Т. 41, № 10. — С. 1406−1409.
  19. А.Н. Прямая и обратная задача для дифференциально-разностного уравнения диффузии // Дифференц. уравнения. 2006. — Т. 42, № 10. — С. 1431−1433.
  20. Т.М., Авдеев Р. З. Введение в нелинейную физику от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.
  21. Л.М., Милованов A.B. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам кинетической электродинамики // УФН. 2004. — Т. 174, № 8. — С. 809−850.
  22. A.A. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // ЖВМ и МФ. 1966. — Т. 6. № 6. — С. 991−1001.
  23. В.А., Садовничий В. А., Сеидов Б. Х. Математический анализ.- М.: Наука, 1979.-720 с.
  24. Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. -Т. 13, № 2. С.294−304.
  25. Н.И., Моисеев Е. И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения.- 1979.-Т. 15, № 7. С. 1287−1295.
  26. Т.Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1971. — Т. 7, № 1. — С. 178−181.
  27. Т.Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения // Дифференц. уравнения. 1972. -Т.8, № 1. -С.41−54.
  28. Т.Ш. О характеристической задаче Коши для одного класса вырождающихся гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1973. — Т. 9, № 1. — С. 84−96.
  29. Т.Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. Шымкент, Гылая, 1993. 328 с.
  30. Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб.: Лань, 2003. — 576 с.
  31. Г. И., Разоренов С. В., Уткин А. В., Фортов В. Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: Янус-К, 1996. -408 с.
  32. В. Л., Кобелева О. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. О диффузии через фрактальную поверхность // ДАН. 1997. — Т. 355, № 3. -С. 326−327.
  33. В. Л., Романов Е. П., Кобелев Л. Я., Кобелев Я. Л. О фрактальной диффузии к вращающемуся диску // ДАН. 1998. — Т. 362, № 2. — С. 184−186.
  34. В. Л., Романов Е. П., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. Недеба-евская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве // ДАН.- 1998. Т. 361, № 6. — С. 755−758.
  35. Я. Л., Кобелев Л. Я., Романов Е. П. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // ДАН. 1999. Т. 369, № 3.- С. 332−333.
  36. Л. Я., Романов Е. П. Фрактальная размерность поверхности как параметр порядка // ДАН. 2000. Т. 370, № 6. — С. 757−759.
  37. Л. Я., Романов Е. П. Кинетические уравнения для больших систем с фрактальными структурами // ДАН. 2000. Т. 372, № 2. -С. 177−180.
  38. Я. Л., Кобелев Л. Я., Климентъева Ю. Л. // Доклады РАН.- 2003. Т. 390, № 5. — С. 605−609.
  39. А. Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР.- 1958. Т. 119, № 5. — С. 861−864.
  40. C.B., Урлин В. Д. Об интерполяционных уравнениях состояния металлов для областей сверхвысоких давлений // ДАН СССР. -1960. Т. 131, m 3. — С. 542−545.
  41. С.Б., Урлин В. Д., Попова Л. Т. Интерполяционное уравнение состояния и его приложение к описанию экспериментальных данных по ударному сжатию металлов // Физика твердого тела. 1961. — Т. 3, в. 7. — С. 2132−2140.
  42. А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. — Т. 25, № 8. — С. 1359−1368.
  43. А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения.- 1990. Т. 26, № 4. С. 660−670.
  44. P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. — 488 с.
  45. С.П., Куркина Е. С. Тепловые структуры в среде с нелинейной теплопроводностью // Нелинейный мир. 2005. — Т. 3, № 5−6.
  46. H.H. Специальные функции. M.-JL: Физматлит, 1963. 458 с.
  47. A.B. // Инженерно-физический журнал. 1963. — Т. 9, № 3.
  48. A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инженерно-физический журнал. 1965. — Т. 9, Ns 1.
  49. A.B. Тепломассообмен. М.: Энергия, 1971. — 560с.
  50. K.M. Теоретические основы геотермии. М.: Наука, 2001. — 277 с.
  51. Н. В. Использование дифференциальных уравнений в дробных производных в теории каналорования заряженных частиц в кристаллах. Поверхность: рентгеновские, синхронные и нейтронные исследования. 2001. К0- 5. — С. 45−47.
  52. Материалы V Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, сентябрь 2007 г. 170 с.
  53. Р. П. К теории фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой // Письма в ЖТФ. 1996. — Вып. 23. Т. 22.
  54. Р.П. Обобщенные уравнения одномерной фильтрации с дифференцированиями дробной степени // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74, № 2. С. 34−37.
  55. Р.П., Янполов М. С. Особенности фазовой траектории «фрактального» осциллятора // Письма в ЖТФ. 2002.- Вып. 1. Т. 28.
  56. Р. Математическая теория течения сжимаемой жидкости. М.: ИЛ, 1961. — 588 с.
  57. Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральными параметрами. М.: Изд-во МГУ, 1988. — 150 с.
  58. В.И., Кожевникова И. А. О степенном законе катастрофических наводнений // Доклады АН. Механика. 2002. — № 3.
  59. В.И., Кожевникова H.A. Закон катастрофических наводнений // Вестник РАН. 2005. — Т. 75, № 1. — С. 46−55.
  60. A.M. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // ДАН СССР. 1977. — Т. 234, № 2. — С. 308−311.
  61. A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. — 50 с.
  62. A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995.- 301с.
  63. A.M. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1980 — Т. 16, № 9.
  64. A.M. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах // ДАН СССР. 1988. Т. 300, № 4.
  65. A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик: Эльбрус, 1992. — 155 с.
  66. A.M. Математические модели вязкоупругого тела // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. -№ 3.-С. 107−109.
  67. A.M. Математические методы в исторических исследованиях. Нальчик: КБГУ. — 1987. — 56 с.
  68. A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2003. — 272 с.
  69. A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. — 287с.
  70. В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. — 173 с.
  71. В.А. Об одной математической модели теплообмена в смешанной среде с идеальным контактом // Вестник Самарского государственного технического университета. Вып. 42. Сер. ФМН. — 2006. -С. 11−34.
  72. В.А. Критерии ограниченности следа производной решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в угловых точках области его задания // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. — Т. 8, № 2. — С. 139−143.
  73. В.А. О базовых уравнениях математических моделей тепловых процессов, протекающих в режимах с обострением // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2007. — Т. 9, № 1. — С. 139−143.
  74. В.А. О линейных смешанного типа уравнениях теплопроводности, моделирующих тепловые процессы, протекающие в режимах с обострением // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. — Т. 9, № 2. — С. 78−92.
  75. В.А. Об определении распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения // Математическое моделирование. 2005. — Т. 17, № 7. — С. 53−58.
  76. В.А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002. — 100 с.
  77. В.А. Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения и смешанная задача для обобщенного волнового уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1996. — Т. 2, № 1. — С. 26−28.
  78. В.А. Об одной задаче A.B. Лыкова и конструктивной формуле ее решения // Известия КБНЦ РАН. 1998. — Т. 1, № 1. — С. 48−53.
  79. В.А. Смешанные краевые задачи для гиперболо-параболического уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1998. — Т. 3, № 2. — С. 12−15.
  80. В.А. О некоторых математических моделях диффузионного переноса вещества в средах с фрактальной структурой // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. — Т. 6, № 2. -С. 115−118.
  81. В.А. Об одной задаче определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронногоизлучения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. — Т. 7, № 1. — С. 124−128.
  82. В.А. Об одном классе уравнений состояния вещества // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -2005. Т. 7, № 2. — С. 101−108.
  83. В.А. Об одной математической модели процессов переноса // Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, 2003. С. 142−144.
  84. В.А. Об одной математической модели нестационарной теплопроводности // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, 2004. С. 259−262.
  85. В.А. Об одном классе уравнений состояния вещества. Сборник трудов XX международной конференции «Физика экстремальных состояний вещества 2005». Черноголовка-2005. С. 137−139.
  86. В.А. Об одной математической модели переноса тепла в почве // Материалы III Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Нальчик, 2006. С. 208−209.
  87. В. А. Об одном классе уравнений состояния вещества. Тезисы XX международной конференции «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». Эльбрус-2005. С. 114.
  88. З.А. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нелокальным условием сопряжения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. — Т. 7, № 1. — С. 66−74.
  89. Нигматуллин P.P. The Realization of the Generalized Transfer Equation in a Medium with Fractal Geometry. Phys. Status Solldi. B. 1986. V. 133, № 11. P. 425−430.
  90. P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и математическая физика. 1992. — Т. 90, № 3. -С. 354−368.
  91. А. И. Флат А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды // УФН. 1993. — Т. 163, № 12. — С. 1−43.
  92. Полубарипова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977.
  93. А.Ю. О количестве вещественных собственных значений одной краевой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. — Т. 12, № 6. -С. 137−155.
  94. A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. М.: Университетская книга, 2005. — 848 с.
  95. A.B. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Мат. заметки. 2005. — Т. 77, № 4. — С. 592−599.
  96. A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. — 199 с.
  97. Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 7. С. 837−892.
  98. Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. -М.: Наука, 1977.
  99. O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Самара: Саратовский университет, Самарский филиал, 1992.-161 с.
  100. С.Ш. Нестационарная электропроводность полимеров в модели с дробным интегродифференцированием // Физика твердого тела. 2007. — Т. 49, вып. 8. — С. 1522−1526.
  101. Е. П. Влияние фрактальных характеристик поверхности твердых электролитов на температурную зависимость элемента постоянной фазы // ДАН. 2000. — Т. 374, № 2. — С. 180−183.
  102. К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. — Т. 24, № 11. — С. 1967−1976.
  103. К.Б. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 2003. — 255 с.
  104. А.И., Уткин С. Г. Асимптотические законы супердиффузии // ЖТФ. 2003. — Т. 73, вып 7. — С. 1−7.
  105. М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: Фан, 1974. 156 с.
  106. М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. Ташкент: Университет, 2005. 224 с.
  107. A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1997. -240 с.
  108. A.A., Вабищевич ?Т.Н. Вычислительная теплопередача. -М.: Едиториал УРСС, 2003. 784с.
  109. С.Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
  110. Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. -448 с.
  111. Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007. — 167 с.
  112. Р.Т., Учайкин В. В. Дробно-дифференциальная кинетика переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках // Физика и техника полупроводников. 2007. — В. 3 — С. 346−351.
  113. С. JI. Локально-неравновесные модели процессов переноса // УФН. 1997. — Т. 167, № 10. — С. 1096−1106.
  114. A.A. Вероятностная интерпретация интеграла дробного порядка // Теоретическая и математическая физика. 2004. -Т. 138, № 3. — С. 491−507.
  115. Т.А. Об одном применении дробного исчисления в вязко-упругости // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. — 2000. № 5. — С. 62−66.
  116. А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. М.: МАКС Пресс, 2005. — 408 с.
  117. Тен К.А., Аульченко В. М., Евдокимов О. В., Жогин И. Л., Жуланов
  118. А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 735 с.
  119. Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.:-Л.: ГИТ-Т.Л. 1947. — 192 с.
  120. Е.Е., Реутов Б. Ф., Сукач И. А. Тезисы докладов XIV Международной конференции «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». Терскол, 1999. С. 60.
  121. Устюэ/санин Е. Е., Реутов Б. Ф., Кузубов К. А. Тезисы докладов XV
  122. Международной конференции «Уравнения состояния вещества». Тер-скол, 2000. С. 46−47.
  123. Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных линиях // Инженерно-физический журнал. 1964. — Т. VII, № 1. -С. 89−92.
  124. В.В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью и асимптотическая фрактальность // ЖТФ. 1998. — Т. 68, № 1. -С. 138−139.
  125. В.В. Фрактальные блуждания и блуждания на фракталах // ЖТФ. 2004. — Т. 74, вып 7. — С. 123−126.
  126. В. Е. Модели уравнений состояния вещества (препринт). Черноголовка, 1979. Отделение института хим. физики им. Ленина РАН.
  127. Фракталы в физике: Труды VI Международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9−12 июля 1985 г.): Пер. с англ. / Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. М.: Мир, 1988.
  128. Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1972. 712 с.
  129. Г. Синергетика. М.: Мир, 1985. 419 с.
  130. М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998. 168 с.
  131. К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. — Т. 108, № 5(11). — С. 1875−1884.
  132. А.Г. Системно-структурный анализ процесса теплообмена и его применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. — 280 с.
  133. Шейн Е. В. Курс физики почв. М.: Изд-во МГУ. 2005. — 432 с.
  134. В.Х., Шхануков-Лафишев М.Х., Бештоев Х. М. Дробные производные: интерпретация и некоторые применения в физике. Сообщение Объединенного института ядерных исследований. Дубна, Р4−97−81, 1997. С. 1−16.
  135. М.Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной // ДАН. 1996. — Т. 348, № 6. — С. 746−748.
  136. Bagley R.L., Torvik P.J. A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelastically damped srtuctures // J. Rheol. 1983. -V.27, -№ 3. -P. 201−213.
  137. Bagley R.L., Torvik P.J. Fractional calculus a different approach to the analysis of viscoelastically damped srtuctures // AIAA Journal. 1983. -V. 21, № 5. — P. 741−748.
  138. Bagley R.L., Torvik P.J. On the fractional calculus model of viscoelastic behavior // J. Rheol. 1986. — V. 30, № 1. — P. 133−155.
  139. Barrett J.H. Differential equation of non-integer // J. Math. Canad. -1954. V. 6, № 4.-P. 529−524.
  140. Benson D. The Fractional Advection-Dispersion Equation: Development and Application: A dissertation submitted in partial fulfillment of the Doctor of Philosophy in Hydrogeology. Nevada, USA, 1998. Canad. 1954. -V.6, № 4.-P. 529−524.
  141. Caputo M. Elasticita e Dissipazione. Zanichelli, Bologna (1969) (in Italian).
  142. Fujita Y. Integrodifferential equation which interpolates the heat equation and the wave equation // Osaka J. Math. 1990. — V. 27. — P. 309−321.V
  143. Gemant A. On Fractional Differential Equations // Philosophical Magazine. 1938. — V. 25. P. 540−549.
  144. Gemant A. On Fractional Differential. Philosophical Magazine. 1938. V. 25. P. 540−549.
  145. S. // J. Mech. Appl. Math., 1951. V.4, № 2.
  146. Gorenflo R. Fractional Calculus: Some Numerical Methods. CISM Lecture Notes. International Centre for Mechanical Sciences. Palazzo del Torso, Piazza Garibaldi, Udine, Italy. P. 277−290.
  147. Koeller R.C. Applications of fractional calculus to the theory of viscoelasticity // J. Appl. Mech. 1984. — V. 51. — P. 299−307.
  148. Mainardi F. Fractional Relaxation-Occilation and Fractional Diffusion-Wave Phenomena Chaos // Solitons and Fractals. 1996. — V. 7, № 9. P. 1461−1477.
  149. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. N.Y.: Freman, 1983.
  150. Miller K.S., Ross B. Fractal Green’s function // Indian J. Pure Appl. Math. 1991. — V. 22, № 9. — P. 763−767.
  151. Oldham Keith B., Spanier Jerome. The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order). Academic Press, New York and London, 1974. 233 p.
  152. Wright E.M. The Generalzed Bessel Function of order Greater Than One // The Quarterly Journal of Mathematics, Oxford series. 1940. V. 11, № 41. -P.36−48.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?