Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений параболического типа

Задачи с нелокальными условиями представляют собой одно из динамично развивающихся направлений современной теории дифференциальных уравнений. Нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых задаются условия, связывающие значения искомого решения или его производных в различных точках границы или в точках границы и каких-либо внутренних точках [60].

Особое место среди нелокальных задач занимает класс задач с нелокальными интегральными условиями, которые являются обобщением локальных и дискретных нелокальных условий. Нелокальные интегральные условия возникают при исследовании различных физических явлений в случае, когда граница области протекания процесса недоступна для непосредственного измерения. В качестве примера можно привести задачи, связанные с исследованием диффузии частиц в турбулентной плазме [75], процессов распространения тепла [45], [23], процесса влагопереноса в капиллярно — пористых средах [59], [4]- при математическом моделировании технологического процесса внешнего геттерирования, применяемого для очи-щеиия кремниевых плат от примесей [57], [58].

Нелокальные задачи также имеют практическое значение при решении задач механики твердого тела. Они позволяют управлять напряженно — деформированным состоянием и этим схожи с задачами управления [1], [74].

К числу первых исследований нелокальных задач можно отнести статью А. В. Бицадзе и А. А. Самарского [2]. В этой работе были поставлены и исследованы пространственно — нелокальные задачи для определенного класса эллиптических уравнений, которые привели к изучению несамосопряженных спектральных задач. Впоследствии задача, сформулированная в [2], была названа задачей Бицадзе — Самарского.

Дж. Кэннон [45] рассмотрел задачу о распространении тепла в тонком нагретом стержне {0 < х < 1}, в случае, когда задано количество тепла на части стержня {0 < х < Х (х)}, 0 < t < Т. Этот процесс приводит к изучению граничной задачи для уравнения теплопроводности щ — ихх с начальным условием и (х, 0) = <�р (х) и нелокальным условием где E (t) и X (t) — известные функции.

В [45] доказано существование и единственность классического решения данной задачи при E (t), X (t)? Сх[0, Т].

В работе Л. И. Камынина [28] в области St = < х < Х2(t), 0 < t <Т} для одномерного параболического уравнения общего вида а (х, t) uxx + b (x, t) ux + с (х, t) u — щ = f (x, t) установлена однозначная разрешимость задачи с условиями в случае, если функции E (t) и Х3(t) удовлетворяют условию Гельдера.

Необходимо также отметить статью А. А. Самарского [75], в которой приведена постановка нелокальной задачи для уравнения теплопроводности и (х, 0) = h (x), g (x, t) u (x, t) dx = E{t), Xi (t) < X3(t) < X2{t), u (X2(t), t) =.

Ul — ^XXl.

0.1: с начальным условием u (x, 0) =.

< x < 1,.

0.2- граничным условием u (0,t) = u (t) и с интегральным условием.

Эта задача исследована Н. И. Ионкиным в [23].

Также в [75] поставлена задача для уравнения (0.1) с начальным условием (0.2) и с условиями вида aiux (0,t) + b1ux (l, t) + aou (Q, t) + b0u{l, t) = 0, ci"x (0,t) + diux (l, t) + c0u (0,t) + dQu (l, t) = 0.

Существование и единственность решения нелокальной задачи для уравнения щ = ихх — q{x)u + f (x, t) с условиями (0.2), (0.3) исследованы Н. И. Ионкиным и Е. И. Моисеевым [25].

Задачи с нелокальными условиями активно изучаются в настоящее время. Среди работ, посвященных изучению нелокальных задач для гиперболических уравнений, выделим статьи [5] — [6], [25], [38], [39], [50], [51], [56], [71] - [72].

Нелокальные задачи для уравнений параболического типа исследованы в работах [4], [20] - [27], [33] - [35], [32], [57] - [58], [61] - [62], [70], [73], [77], [78]. Рассмотрим более подробно те статьи, в которых нелокальные условия являются интегральными. Остановимся сначала на работах, посвященных исследованию задач для уравнений параболического типа с интегральными условиями, нелокальными по пространственной переменной.

Н.И. Юрчук [78] изучал решение смешанной задачи для параболического уравнения с условиями и s, 0) = 0, [ u (x, t) dx = 0. Jo.

З.А. Нахушева [61], [62] исследовала нелокальную задачу для параболического уравнения с условиями д fa.

J^ и (х, у) dx = ip (y 0.

J^ u (x, y) dx = ф (у), 0 < у < b.

JI.А. Муравей и A.B. Филиновский [57], [58] изучали нелокальную задачу для уравнения (0.1) с условием p (t)u (l, t)+ / u (x, t) dx — р0и (1,0) + / u (x, 0) dx.

Jo Jo 4.

Н.И. Иванчов [20] показал существование решения нелокальной задачи для параболического уравнения с интегальными условиями pi (x)u (x, t) dx = Hi (t), г = 1,2. Jo.

Задачи с нелокальными по времени интегральными условиями рассмотрены в [34], [69]. Так, А. Ю. Попов и И. В. Тихонов [69] исследовали задачу для уравнения (0.1) с нелокальным условием u (x, t) dt = ф (х).

А.И. Кожанов [34] доказал существование и единственность решения нелокальной задачи для уравнения Аллера с условием.

В процессе исследования нелокальных задач была выявлена тесная взаимосвязь задач с нелокальными условиями с обратными задачами. В теории уравнений с частными производными под обратными принято понимать задачи, в которых наряду с искомым решением подлежат определению некоторые входные данные, например начальные условия или коэф-фиценты уравнения. При исследовании обратных задач задаются дополнительные условия, которые представляют собой либо сведения о состоянии процесса в заданный момент времени (задачи с финальным переопределением), либо средние значения каких-либо физических характеристик (задачи с интегральным переопределением).

Приведем пример, показывающий указанную выше связь. Рассмотрим в области Qt = {(ж, 0: х Е (0,1), t 6 (0, Т)} уравнение теплопроводности.

Щ ~ ихх = 0.

0.4).

Поставим для него задачу с граничными условиями.

0, t) = u (l, t) = 0.

0.5) и условием т.

0.6).

Заметим, что в случае заданного начального условия и (х, 0) = ф) (0.7) решение задачи (0.4), (0.5), (0.7) можно найти методом разделения переменных. Поэтому естественно расматривать задачу (0.4) — (0.7) как обратную задачу относительно пары функций (и, <р) с условием финального переопределения (0.6).

Среди последних работ посвященных изучению обратных задач для параболических уравнений выделим [46], [47] - [49], [67], [21], [29] - [31], [37] - [36], [63] - [66], [42], [43].

Остановимся на тех исследованиях, в которых условие переопределения имеет вид интегрального оператора.

Дж. Кэннон и Янпинг Лин [47] изучали задачу о нахождении пары функций (и, р), удовлетворяющих уравнению.

Щ = ихх + p (t)u + F (x, t, u, uXip (t)), 0 < ж < 1, 0 < х < 1, граничным условиям u*(0,t) = /(*). ux{l, t) = g (t), 0.

Ф (х, t) u (x, t) dx = E (t), 0 < t < T, где функции uq (x), f (t), g (t), E (t) и F (t) известны.

A.M. Прилепко и Д. С. Ткаченко [63] исследовали задачу о нахождении пары функций (и,<�р), u (x, t) в Qt = ^ х (0,Т), <�р (х) в fi, удовлетворяющих уравнению p{x, t) ut — (CLij (x)ux.)x. — bi{x)uXi — c{x, t) u = Ф (x, t) ip (x), L начальному условию и (х, 0) = щ (х), х? П, граничному условию u (x, t) s = о и условию интегрального переопределения fT w (t)u (x, t) dt = x (^).

Jo.

A.M. Кожанов [37] рассматривал задачу о нахождении функций и (х, t) и p (t), связанных в цилиндре Qt = & х (0, Т) уравнением.

— (a^OMHi)^ - - = f{x, t), при выполнении для функции и (х, t) условий и (х, 0) = щ (х), хбО, u (x, t) s = 0, I K (x, t) u{x, t) dx = fi{t), t€(0,T).

Данная диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений параболического типа и установлению взаимосвязи между нелокальными и обратными задачами.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Алексеева С. М. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевим условием. /С.М. Алексеева, Н. И. Юрчук // Дифференц. урав.- 1998. Т.34. — № 4. — С. 495−502.

2. Бицадзе А. В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. / А. В. Бицадзе, А. А. Самарский // ДАН СССР. 1969. — Т. 185. — № 4. — С. 793−740.

3. Васильева А. Б. Интегральные уравнения. / А. Б. Васильева, Н. А. Тихонов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 160 с.

4. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения. / В. А. Водахова // Дифференц. уравнения. 2004. — Т.40. — № 4. — С. 547−564.

5. Голубева Н. Д. Об одной нелокальной задаче с интегральными условиями./ Н. Д. Голубева, Л. С. Пулькина // Мат. заметки. 1996. — Т. 59. В. 3. С. 456−458.

6. Гордезиани Д. Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды./ Д. Г. Гордезиани, Г. А. Авалишвили // Мат. моделир. 2000. Т. 12. № 1. — С. 94−103.

7. Данилкина О. Ю. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности. / О. Ю. Данилкина // Труды Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 3. Самара: Изд-во СамГТУ. 2005. — С. 81−83.

8. Данилкина О. Ю. О единственности решения одной нелокальной задачи для уравнения теплопроводности. / О. Ю. Данилкина // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского — Казань: Казанское математическое общество, 2005. Т. 31. — С. 51 — 53.

9. Данилкина О. Ю. Нелокальная задача для параболического уравнения./ О. Ю. Данилкина // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. — Рязань: Рязанский государственный университет, 2006. Т. И. — С. 70 — 71.

10. Данилкина О. Ю. Нелокальная задача с интегральным условием для параболического уравнения. / О. Ю. Данилкина // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского — Казань: Казанское математическое общество, 2006. Т. 32. — С. 72 — 73.

11. Данилкина О. Ю. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности. / О. Ю. Данилкина // СамДиф: всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тезисы докладов. Самара: «Универсгрупп», 2007. — С. 41 — 43.

12. Данилкина О. Ю. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности с интегральным условием / О. Ю. Данилкина // Вестник СамГТУ. 2007. — № 1(14). — С. 5 — 9.

13. Данилкина О. Ю. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения./ О. Ю. Данилкина //Вестник СамГУ. 2007. — № 6(56). -С. 141−154.

14. Зорич В. А. Математический анализ. Часть 2./В.А. Зорич // М.: Наука, 1984. 640 с.

15. Ильин В. А. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями. / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 2000. Т.Зб. — № 5. — С. 656 -661.

16. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. / Н. И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. — Т. 13. -№ 2. — С. 294 — 304.

17. Ионкин Н. И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. / Н. И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1979. — Т. 15. — № 7. — С. 1279 — 1283.

18. Ионкин Н. И. Об задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. / Н. И. Ионкин, Е. И. Моисеев //Дифференц. уравнения. 1979. — Т. 15. — № 7. — С. 1284 — 1295.

19. Ионкин Н. И. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальны-мими краевыми условиями. / Н. И. Ионкин, В. А. Морозова // Дифференц. уравнения. 2000. — Т. № 7. — С. 884 — 888.

20. Ионкин Н. И. Принцип максимума для одной нелокальной несамосопряженной краевой задачи. / Н. И. Ионкин, Е. А. Валикова //Дифференц. уравнения. 1995. — Т. 31 № 7. — С. 1232 — 1239.

21. Камынин Л. И. Об обной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями./ Л. И. Камынин // Жв-МиМФ. Т.4. — № 6. — 1964. — С.1006 — 1024.

22. Камынин В. Л. О предельном переходе в обратных задачах для параболических уравнений с условием интегрального переопределения. / В. Л. Камынин // Дифференц. уравнения. -1996. -Т. 32. № 5. — С. 620 — 626.

23. Камынин В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения. / В. Л. Камынин // Мат. заметки. Т.77. — М. — 2005. — С. 522 — 534.

24. Камынин JI.И. Нелинейная обратная задача для параболического уравнения высокого порядка. / В. Л. Камынин, М. Сарольди // Жв-МиМФ. Т.38. — № 10. — 1998. — С.1683 — 1691.

25. Капустин Н. Ю. Априорная оценка решения одной смешанной задачи для уравнения теплопроводности. / Н. Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 2006. — Т.42. — № 10. — С. 1375 — 1379.

26. Картынник А. В. Трехточечная смешанная задача с интегральным условием по пространственной переменной для параболических уравнений второго порядка. / А. В. Картынник // Дифференц. урав. 1990. -Т.26.-№ 9.

27. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера. / А. И. Кожанов // Дифференц. уравнения. 2004. — № 6. — С. 763 — 774.

28. Кожанов А. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений. / А. И. Кожанов // Вест. Самар.гос. тех. ун-та. Сер. физико-матем. науки. -2004. № 30. — С.63 — 69.

29. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче. / А. И. Кожанов // Матем. заматки. 2004. — Т.76. — В.12. — С.840 — 852.

30. Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. / А. И. Кожанов // ЖвмиМф. 2005. — Т.45. — № 12. — С. 2168 — 2184.

31. Кожанов А. И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений./ А. И. Кожанов, Л. С. Пулькина // ДАН. 2005, — Т.404. — № 5. — С. 589 — 592.

32. Кожанов А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболическихуравнений. / А. И. Кожанов, J1.C. Пулькина // Дифференц. уравнения.- 2006. Т.42. — № 9. — С. 1166 — 1179.

33. Kozhanov А. I. (Кожанов А. И.) An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation.II. / A. I. Kozhanov (А. И. Кожанов) // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003. — Vol. 11. — №. 5. P. 505 522.

34. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004. 572 с.

35. Костин А. Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. I. / А. Б. Костин, А. И. Прилепко // Дифференц. уравнения. 1996. — № 1. — С. 107 — 116.

36. Костин А. Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. II. / А. Б. Костин, А. И. Прилепко // Дифференц. уравнения. 1996. — № 11. — С. 1519 — 1528.

37. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1 /Р. Курант, Д. Гильберт ГТТИ, 1933. — 525 с.

38. Кэннон Дж. (Cannon J.R.) The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy. / Дж. Кэннон (Cannon J.R.) // Quart. Appl. Math. 1963. — V.21. — P. 155 — 160.

39. Кэннон Дж., Эвинг P.(Cannon J., Ewing R.) Dertermination of a source term in a linear parabolic partial differential equation. / Дж. Кэннон, P. Эвинг (Cannon J., Ewing R.) // J. Appl. Math. Phys. 1976. — № 27. -P. 393 — 401.

40. Кэннон Дж., Янпинг JI. (Cannon J.R., Yanping Lin) Dertermination of a parameter p (t) in some quasi-linear parabolic differential equations. / Дж. Кэннон, JI. Янпинг (Cannon J.R., Yanping Lin) // Inverse problems. -1998. № 4. — P. 35 — 45.

41. Кэннон Дж., Д P. (Cannon J.R., DuChateau.) Structural identification of an unknown sourse term in a heat equation. / Дж. Кэннон, P. Д (Cannon J.R., DuChateau P.) // Inverse problems. 1998. — № 14. — P. 535 — 551.

42. Лажетич H.JI. О существованиии классического решения смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка./ Н. Л. Лажетич // Дифференц. уравнения. 1998. — Т.34. — № 5. -С. 682 — 694.

43. Лажетич Н. Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка./ Н. Л. Лажетич // Дифференц. уравнения. 2006. — Т.42. — № 8. — С. 1072 -1077.

44. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. / О. А. Ладыженская — М.: Наука, 1973. 408 с.

45. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. /О.А. Ладыженская, B.А. Солонников, Н. Н. Уральцева — М.: Наука, 1967. 736 с.

46. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.// В. П. Михайлов М.: Наука, 1976. — 391 с.

47. Михлин Г. С. Лекции по линейным интегральным уравнениям. / Г. С. Михлин М.: Физматгиз, 1959.

48. Моисеев Е. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи./ Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 2001. — Т.37. — № 11.C. 1565 1567.

49. Муравей J1.А. Об одной нелокальной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения. / Л. А. Муравей, А. В. Филиновский // Мат. сб., 182: 10(1991). С. 1479 — 1512.

50. Муравей Л. А. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения. / Л. А. Муравей, А. В. Филиновский // Мат. зам. -1993. -Т .54. В.4. — С. 98 — 116.

51. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод. / А. М. Нахушев // Дифференц. урав. 1982. — Т. 18. — № 1. — С. 72 — 84.

52. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. / А. М. Нахушев. М.:Высш.шк. — 1995. — 301 с.

53. Нахушева 3. А. Первая и вторая краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка. / 3. А. Нахушева //Дифференц. урав. 1990. — Т.26. — № 11. — С. 1982 — 1991.

54. Нахушева 3. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных. / 3. А. Нахушева // Дифференц. урав. 1986. — Т. 22. -ДО1.-С. 171−174.

55. Прилепко А. И. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением. / А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко // ЖвмиМф. 2003. -T.43.-JM. С. 537 546.

56. Прилепко А. И. Фредгольмовость и корректность обратной задачи об источнике с интегральным переопределением. / А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко // ЖвмиМф. 2003. — Т.43. — № 9. — С. 1338 — 1347.

57. Прилепко А. И. Фредгольмовость обратной задачи об источнике для параболических систем. / А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко // Дифференц. урав. 2003. — Т.39. — № 12. — С. 1693 — 1700.

58. Прилепко А. И. Корректность обратной задачи об источнике для параболических систем. / А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко // Дифференц. урав. 2004. — Т.40. — № 11. — С. 1540 — 1547.

59. Prilepko А. I. (Прилепко А.И.) Inverse problem for a parabolic equation with integral overdetermination. / A. I. Prilepko, D. S. Tkachenko (А.И.Прилепко, Д.С. Ткаченко) // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003. Vol. 11. №. 2. — P. 191 — 218.

60. Понтрягин JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. / Л. С. Понтрягин. 4-е изд. — М.: Наука. — 1974. — 331 с.

61. Попов А. Ю. Классы единственности в нелокальной по времени задаче для уравнения теплопроводности и комплексные собственные функции оператора Лапласа. / А. Ю. Попов, И. В. Тихонов // Дифференц. урав.- 2004. Т.40. — № 3. — С.396 — 405.

62. Пукальский И. Д. Нелокальные краевые задачи для неравномерно параболических уравнений. / И. Д. Пукальский // Дифференц. урав. -2003. Т.39. — № 6. — С.777 — 787.

63. Пулькина Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения. / Л. С. Пулькина. // Матем. заметки. -2003. Т.74. — В. 3. — С. 435 — 445.

64. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения. / Л. С. Пулькина. // Дифференц. урав.- 2004. Т.40. — № 7. — С. 887 — 892.

65. Пулькина Л. С. Неклассические уравнения математической физики. / Л. С. Пулькина. // Изд-во института математики СО РАН. 2005. -С.231 — 239.

66. Розанова А. В. Управляемость в линейной параболической задаче с интегральным переопределением. / А. В. Розанова // Дифференц. урав.- 2004. Т.40. — № 6. — С. 798 — 815.

67. Самарский А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. / А. А. Самарский // Дифференц. урав. 1980. — Т. 16. -№ 11.-С. 1925 — 1935.

68. Треногин В. А. Функциональный анализ. / В. А. Треногин — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. 488 с.

69. Чегис Р. Монотонная разностная схема для параболической задачи с нелокальными краевыми условиями. / Р. Чегис, О. Штиконес, О. Субоч // Дифференц. уравнения. 2002. — Т.384. — № 7. — С. 968 — 975.

70. Юрчук Н. И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений. / Н. И. Юрчук. // Дифференц. урав. 1986. — Т.22. — № 12. — С. 2117 — 2126.