О конечной базируемости правоальтернативных метабелевых алгебр

Изучение строения идеалов тождеств многообразий алгебр представляет собой важное направление исследований в современной теории колец. Принципиальным аспектом подобных исследований является вопрос существования конечных систем порождающих рассматриваемых идеалов, т. е. конечных базисов тождеств. Многообразие алгебр, всякое подмногообразие которого допускает конечный базис тождеств, называют шпехтовым.

В 1950 году в теории ассоциативных алгебр возникла проблема Шпехта: верно ли, что всякое многообразие алгебр над полем характеристики 0 обладает конечным базисом тождеств? Эта проблема оставалась нерешенной более тридцати лет, что послужило развитию интереса математиков также и к вопросам шпехтовости многообразий неассоциативных алгебр. Так, шпехтовость различных многообразий ассоциативных, лиевых, альтернативных и йордановых алгебр широко изучалась в ряде работ: А. Р. Кемер [17−20], В. Н. Латышев [22−26], Ю. А. Медведев [28, 29], С. В. Пчелинцев [32−34], Ю. П. Размыс-лов [36, 37] и др.

Одним из первых в нашей стране проблемой Шпехта начал заниматься профессор В. Н. Латышев. В частности, в 1972 году он доказал шпехтовость многообразия ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 с тождеством ., 2^-2], [a^-i, а^]] = 0 [24]. Окончательное решение проблемы Шпехта получил в 1987 году А. Р. Кемер [19], доказав, что произвольное многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный базис тождеств. Однако над полями ненулевой характеристики существуют бесконечно базируемые многообразия [6, 7, 43].

В 1966 году проблема конечной базируемости многообразий алгебр привлекла внимание академика А. И. Мальцева. Так, на Втором Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Батуми он [21] сформулировал вопросы о шпехтовости многообразий алгебр Ли и многообразий, порожденных конечными алгебрами Ли. Вскоре, в 1968 году, Воон-Ли [50] доказал шпехтовость многообразия разрешимых индекса 2 (метабелевых) алгебр Ли. Им же в работе [51] построен первый пример бесконечно базируемого многообразия алгебр Ли над полем характеристики 2. Позднее В. С. Дренски [12] распространил результат [51] на случай произвольного поля ненулевой характеристики. В 1978 году Ю. А. Медведев [28] получил обобщение результата [50], установив шпехтовость многообразия метабелевых алгебр Мальцева. Значительным результатом в этой области является опубликованное в 1992 году А. В. Ильтяковым [45] доказательство шпехтовости многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли. Отметим, что вопрос о шпехтовости произвольного многообразия разрешимых алгебр Ли над полем характеристики 0 до сих пор остается открытым.

Как известно, каждая разрешимая конечнопорождённая альтернативная или йорданова алгебра нильпотентна [13]. Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) построил Г. В. Дорофеев [9, 11]. В 1976 году A.M. Слинь-ко [8] сформулировал проблему шпехтовости многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр, вызывающую интерес в том числе и в силу близости многообразия альтернативных алгебр к многообразию ассоциативных алгебр. Эту близость поясняет теорема Артина, утверждающая, что каждая двупорождённая подалгебра альтернативной алгебры ассоциативна [13].

Определенное продвижение в решении проблемы А. М. Слинько дала доказанная Ю. А. Медведевым в 1978 году теорема о конечной базируемое&tradeмногообразий с двучленным тождеством [28]. Следствием этой теоремы является шпехтовость ряда многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным, в частности, альтернативных и йордановых. В 1985 году положительное решение проблемы А. М. Слинько для альтернативных алгебр в случае поля характеристики, отличной от 2 и 3, получил У. У. Умирбаев [40]. Контрпримеры, показывающие принципиальность ограничений на характеристику поля, были построены в 1980 году Ю. А. Медведевым [29] и в 2000 году С. В. Пче-линцевым [33].

В классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности также в некотором смысле близки. Например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности. Первый пример конечномерной правоальтернативной метабе-левой правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотент-ной, принадлежит Г. В. Дорофееву [10]. В 1976 году В. П. Белкин [5] доказал нешпехтовость многообразия правоальтернативных метабеле-вых алгебр, построив первый пример бесконечно базируемого многообразия в теории колец, близких к ассоциативным. Примерно в это же время С. В. Полин доказал существование многообразия, порожденного некоторой конечной алгеброй над произвольным конечным полем, имеющего бесконечный базис тождеств. В 1978 году И. В. Львов [27] построил бесконечно базируемую б-мерную неассоциативную алгебру, порождающую многообразие, решетка подмногообразий которого бесконечна.

В 1981 году С. В. Пчелинцевым были введены понятия конечномерности и топологического ранга многообразия и изучены решетки многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным [30]. Строение решетки подмногообразий многообразия альтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики 0, при некотором дополнительном ограничении, описано А. В. Ильтяковым [14]. Им же в 1991 году в работе [15] доказана шпехтовость конечнопорождённой альтернативной Р1-алгебры над полем характеристики 0.

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 55 наименований источников. Общий объем диссертации 75 страниц.

1. Бадеев А. В. Многообразия центрально-метабелевых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Деп. в ВИНИТИ, 04.11.98, № 3209 В-98, ред. Сиб. мат. ж-16 с.

2. Бадеев А. В. О шпехтовости многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и коммутативных луп Муфанг // Сибирский математический журнал, 2000, т. 41, № 6. С. 1252−1268.

3. Бадеев А. В. О шпехтовости разрешимых многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3: Дис. канд. физ.-мат. наук, Москва, 1999.

4. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. — М.: Наука, 1985.

5. Белкин В. П. О многообразиях правоальтернативных алгебр // Алгебра и логика. 1976. — Т. 15, № 5. — С. 491−508.

6. Белов А. Я. Контрпримеры к проблеме Шпехта // Математический сборник. 2000. Т. 191, № 3. — С. 13−24.

7. Гришин А. В. Примеры не конечной базируемое&tradeТ-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. — Т. 1, № 3. — С. 669−700.

8. Днестровская тетрадь. Нерешённые задачи теории колец и модулей. Новосибирск: ИМ СО АН РАН, 1993.

9. Дорофеев Г. В. Пример разрешимого, но не нильпотентного альтернативного кольца // УМН. 1960. — Т. 15, № 3. — С. 147−150.

10. Дорофеев Г. В. О нильпотентности правоальтернативных колец// Алгебра и логика. 1970. — Т. 9, № 3. — С. 302−305.И. Дорофеев Г. В. Пример разрешимого, но не нильпотентного (-1,1)-кольца // Алгебра и логика. 1973. — Т. 12, № 2. -С. 162−166.

11. Дренски В. С. О тождествах в алгебрах Ли // Алгебра и логика.- 1974. Т. 13, № 3. — С. 265−290.

12. Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным. — М.: Наука, 1978.

13. Ильтяков А. В. Решетка подмногообразий многообразия двухступенчато разрешимых альтернативных алгебр // Алгебра и логика.- 1982. Т. 21, № 2. — С. 170−177.

14. Ильтяков А. В. Конечность базиса тождеств конечно-порождённой альтернативной Р1-алгебры над полем характеристики нуль // Сибирский математический журнал. — 1991. — Т. 32, № 6. С. 61−75.

15. Исаев И. М. Конечномерные правоальтернативные алгебры, порождающие не конечнобазируемые многообразия // Алгебра и логика. 1986. — Т. 25, № 2. — С. 136−153.

16. Кемер А. Р. Шпехтовость Т-идеалов со степенным ростом коразмерностей // Сибирский математический журнал. — 1978. — Т. 19, № 1. С. 54−69.

17. Кемер А. Р. О нематричных многообразиях // Алгебра и логика.- 1980. Т. 19, № 3. — С. 255−283.

18. Кемер А. Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. 1987. — Т. 26, № 5. — С. 597−641.

19. Кемер А. Р. Идеалы тождеств ассоциативных алгебр: Дис. док. физ.-мат. наук, Барнаул, 1988.

20. Коуровская тетрадь. Новосибирск, 1976.

21. Латышев В. Н. О конечной порожденности Т-идеала с элементом ж1, $ 2, Хз, Х4] // Сибирский математический журнал. — 1966. — Т. 6, № 6. С. 1432−1434.

22. Латышев В. Н. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. — 1969. — Т. 8, № 6 — С. 660−673.

23. Латышев В. Н. Шпехтовость Т-идеала [xi,^,., xn2],[a:ni, a-n]]T // ДАН 1972. Т. 207, № 4, — С. 777−780.

24. Латышев В. Н. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр // Изв. АН СССР. Серия математика. 1973. — Т. 37, № 5. С. 1010−1037.

25. Латышев В. Н. Конечная базируемость тождеств некоторых колец // УМН. 1977. Т. 32, Ш 4. — С. 259−260.

26. Львов И. В. Конечномерные алгебры с бесконечными базисами тождеств // Сибирский математический журнал. — 1978. — Т. 19, № 1. С. 91−99.

27. Медведев Ю. А. Конечная базируемость многообразий с двучленным тождеством // Алгебра и логика. — 1978. — Т. 17, № 6. — С. 705−726.

28. Медведев Ю. А. Пример многообразия разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющего конечного базиса тождеств // Алгебра и логика. — 1980. — Т. 19, № 3. — С. 300−313.

29. Пчелинцев С. В. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр // Математический сборник. 1981; Т. 115, № 2. — С. 179−203.

30. Пчелинцев С. В. О многообразиях, порожденных свободными алгебрами типа (—1,1) конечного ранга // Сибирский математический журнал. 1987. — Т. 28, № 2. — С. 149−158.

31. Пчелинцев С. В. Многообразия разрешимых индекса 2 альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Математические заметки. 1999 — Т. 66, № 4. — С. 556−566.

32. Пчелинцев С. В. Об одном почти шпехтовом многообразии центрально-метабелевых альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Математический сборник. — 2000. — Т. 191, № 6. С. 127−144.

33. А. V. Iltiakov. On finite basis of identities of lie algebra representations // Nova Journ. Algebra Geometry, — 1992, № 3.

34. G. Higman. Ordering by divisibility in abstract algebras, Proc. London Math. Soc., 1952, 2, p. 326−336.

35. A. Sagle. Malcev algebras // Tranc, Amer Math. Soc. 1961. -V. 101, № 3. — P. 426−458.

36. I. P. Shestakov. Free Malcev superalgebra on one odd generator //J. of Algebra and its Applications. 2003. — V. 2, № 4. — P. 451−461.

37. W. Specht. Gesetze in Ringen, Math. Zeits., 52 (1950), 557−589.

38. M. R. Vaughan-Lee Some varieties of Lie algebras, D. Phil, thesis, Oxford (1968).

39. M. R. Vaughan-Lee. Varieties of Lie algebras, Quart. J. Math., Oxford, 21, № 83 (1970), 297−308.Публикации автора по теме диссертации.

40. Кузьмин А. М. Об одном почти шпехтовом многообразии право-алыернативных метабелевых алгебр // МПГУ. Москва, 2005. Деп. в ВИНИТИ, М593-В2005, 23 с.

41. Кузьмин А. М. О шпехтовых многообразиях правоальтернатив-ных алгебр // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 2. — С. 89−100.

42. Кузьмин А. М. Многообразия алгебр бесконечного супер-ранга // Некоторые вопросы математики, информатики и методики их преподавания. М: МПГУ, 2006. С. 111−113.

43. А. М. Kuz’min. On the Specht property of varieties of right alternative metabelian algebras // 5th International Algebraic Conference in Ukraine. Odessa, Ukraine. July 20−27, 2005. Abstracts. P. 118−119.