Математическое моделирование управляемых процессов на основе статистических данных

Моделирование является одним из основных методов познания мира: на идее моделирования, по существу, базируется любое научное исследование.

— как теоретическое, так и экспериментальное. Математическое моделирование — это процесс, результаты которого используются во всех сферах жизни человека, от политики государств, опирающейся на математические модели экономики и стратегической стабильности, до медицины, осуществляющей компьютерное проектирование новых лекарственных средств.

В сфере деятельности, связанной с математическим моделированием, всё большую роль играют построение ианализ математических моделей нелинейных явлений. Здесь находит применение новая технология научных исследований — вычислительный эксперимент. Он включает в себя построение и исследование математических моделей и связан с использованием больших серий расчетов на ЭВМ. Он опирается также на использование классических методов математики и теоретической физики, теории алгоритмов, на разработку новых подходов, на создание и применение адекватных программных средств. Новую технологию научных исследований — вычислительный эксперимент — наглядно можно представить в виде триады: математическая модель.

— алгоритм — программа [1, 2]. В настоящее время ключевым звеном, определяющим эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели.

Под математической моделью понимают описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Формальная математическая конструкция становится моделью после «наполнения» ее «физическим» содержанием, указанием связи символов с характеристиками объекта. Поэтому при моделировании очень важно выбрать математический аппарат, наиболее соответствующий целям моделирования, и структуру формул, наиболее приспособленную к упомянутому «наполнению». Этот выбор делается на начальном этапе моделирования при исходном рассмотрении объекта или информации о нем и определяется целями моделирования. Так, если требуется однозначный прогноз и имеется возможность точного задания величин, характеризующих состояние объекта, конструируют динамические модели. Для этого обычно используют аппарат дифференциальных уравнений и однозначные отображения. Если от требования точного описания объекта отказываются и объявляют наблюдаемые процессы случайными (непредсказуемыми), строят статистические (вероятностные) модели. В классической постановке задач применение аппарата статистики и теории вероятностей возможно, если по условиям задачи достаточно указать вероятность того или иного из возможных состояний системы, или, если устраивает приближенное описание состояния системы с помощью усредненных величин. Более того, в ряде случаев динамическое описание с помощью дифференциальных уравнений даже не представляется возможным из-за сложности моделируемой системы и/или ее поведения. Следует добавить, что хаотические решения простых (малоразмерных) нелинейных динамических систем могут представлять собой весьма нерегулярные, беспорядочные зависимости от времени, так что для их описания тоже весьма уместны статистические характеристики. С другой стороны, для описания непредсказуемых однозначно явлений в системах с малыми шумами используют стохастические дифференциальные уравнения (с малыми случайными добавками). Эти представители вероятностных моделей в некотором смысле находятся на стыке с динамическими и рассмотрены в классических работах Б. Оксендаля [3], Р. Кашьяпа [4], George Adomian [5], А. Н. Ширяева [6] и других авторов.

В работах А. И. Орлова [7] и В. Н. Афанасьева [8] рассматривается статистическое прогнозирование процессов эволюции: определение зависимостей величин, характеризующих объект, от времени с целью прогноза их дальнейшего поведения. Для этого строятся эмпирические модели, которые конструируются непосредственно из экспериментальных данных, представленных в виде временных рядов (последовательностей чисел).

Впервые задача построения модели по временному ряду была поставлена в рамках статистики в связи с проблемой прогноза. На самом деле естественным представляется следующий вопрос: если известно поведение объекта до настоящего момента времени, то возможно ли предсказать его будущее, и насколько далеко? Сначала задача прогноза наблюдаемого процесса формулировалась как одна из наиболее распространенных задач статистического анализа и сводилась, в основном, к изучению связи между переменными. До 1920;х гг. она решалась методом экстраполяции наблюдаемой временной зависимости, затем появились и получили развитие другие методы, в которых авторы, главным образом, ограничивались линейными приближениями [9−14].

В последнее время активно развивается теория прогнозирования, основанная на нелинейной динамике. Она изложена в работах многочисленных авторов, среди которых выделим Г. Г. Малинецкого, С. П. Курдюмова [15], А. Ю. Лоскутова [16, 17], В. И. Арнольда [18]. Строгое математическое обоснование представлено в работах А. Ф. Филиппова, В. И. Благодатских [19], А. И. Панасюка [20], Е. В. Воскресенского [21] и других авторов. В области научных исследований, связанных с прогнозом, в центре внимания находятся описание и предсказание редких катастрофических событий, построение таких прогнозов, которые охватывали бы все возможные развития событий исследуемого явления. Возможности, которые дают нам сегодня информационные технологии, позволяют обратиться к анализу и прогнозу сложных систем учитывая именно все возможные варианты развития событий. Если рассматривать математические модели явлений как динамические системы, то можно заметить, что многие, совершенно разные по сущности явления, развиваются по одним и тем же законам. Так, приведенные в работе [15] исследования роста фондового рынка и тектонического разлома, показывают, что они развиваются по одному и тому же закону. В этой же работе была предложена модель развития высшей школы. Таким образом, инструменты и методы нелинейной динамики пригодны для описания различных явлений и процессов. Они особенно полезны при прогнозировании поведения социально-технологических систем, для которых пока не известны количественные законы, определяющие их динамику.

Классические варианты построения прогноза и анализа демографии и социальных систем широко представлены в литературе, например в монографии В. П. Тихомирова [22]. В работах Н'. Н. Моисеева [23], Ю. С. Куснера, И. Г. Царева [24], А. И. Москаленко [25] рассматривается изучение принципов управления экономическими системами. С использованием таких прогнозов открываются новые возможности в области управления прогнозируемыми системами, отличные от построенных вероятностными методами и методами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Развиваемый в настоящей работе метод исследования различных процессов привлекает аппарат теории дифференциальных включений и требует алгоритмической разработки и программной реализации. Для социальных систем компьютерные технологии могут служить своеобразным барометром: они «сворачивают» имеющуюся информацию в несколько показателей, которые помогают принять решение. В основу этих подходов легли методы, апробированные при прогнозе землетрясений [26]. При неизвестных уравнениях, решая которые можно прогнозировать катастрофу, однако имеется огромный массив данных, используя которые можно «научить» прогнозировать соответствующие компьютерные системы [27]. Работа над применением этих подходов в социологии ведется С. П. Кузнецовым и его коллегами из Международного института математической геофизики и теории прогноза землетрясений РАН, а также С. А. Кащенко [28] и исследователями из Ярославского государственного университета.

Для описания многих важных объектов у нас нет соответствующих уравнений, а если они и есть, то определение коэффициентов и настройка модели сами по себе представляют исключительно сложную задачу. Недостатком алгоритмов прогноза для социально-экономических систем и задач по управлению риском являются данные. Для того чтобы «научить» соответствующие компьютерные системы, нужно иметь длинные ряды достоверных и достаточно точных данных, характеризующих различные стороны изучаемого объекта. Очевидно, что восполнив этот пробел, можно повысить качество прогноза.

Численные методы решения экстремальных задач широко представлены в литературе [29−31]. Решение различных задач оптимального управления е требует создания специализированные пакеты прикладных программ. Недостатком существующего программного обеспечения является необходимость дополнительного программирования. Например, в Институте динамики систем и теории управления СО РАН создан и регулярно дорабатывается пакет прикладных программ КОНУС [32]. Использование данного пакета позволяет решать задачу оптимального управления и строить прогноз развития динамической модели. Однако, его применение требует от пользователя специальных навыков и заполнения соответствующим образом файла входных данных.

При построении управляемых прогнозов в нелинейной динамике возникает необходимость решать задачи оптимального управления, проводить объемные и рутинные вычисления. Математический аппарат теории оптимального управления для решения разного класса задач развит в работах В. И. Зубова и его учеников [33, 34], J1. С. Понтрягина [35], Н. Н. Красовского [36, 37], В. М. Алексеева, В. М. Тихомирова, C.B. Фомина, В. В. Александрова, В. Г. Болтянского [38, 39], Камачкина [40], А. П. Жабко [41]. Особый вклад в исследование данного математического аппарата был внесен школой Е. В. Воскресенского [21, 42−45]. Именно его идеи развиваются в этой работе.

В настоящей работе, в отличие от вероятностных методов, предлагается исследовать статистические данные как «показания» динамического процесса, фиксированные в определенные моменты времени. Это неуправляемый участокна нем имеется статистическая база данных, которую мы изменить не можем. Однако, в динамической модели, начиная с определенного момента времени, процесс можно рассматривать как управляемый — это будущее. Управляемость в работе рассматривается с качеством в виде функционала, который пропорционален затратам по переводу точки за конечный промежуток времени. Такой подход к прогнозированию динамических процессов развивается в работах Е. В. Воскресенского и его учеников [21, 44, 45]. Под прогнозом здесь подразумевается база данных, содержащая максимальные и минимальные значения измеряемых величин в будущем промежутке времени.

Актуальность работы определена необходимостью прогнозирования и программирования разного рода процессов по имеющимся статистическим данным. Эти процессы, как правило, исследуются вероятностными методами, с помощью построения статистических или динамических моделей. Каждый из этих типов моделей имеет свои преимущества и недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-либо допущений и упрощений. Однако результаты расчета по ним легче обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. И, главное, аналитические модели более приспособлены для поиска оптимальных решений. Статистические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, т. е. не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (теоретически — неограниченно большое) число факторов. Но и у них есть свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное — крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать путем догадок и проб. Классические подходы к построению статистических моделей рассмотрены в работах Б. Оксендаля [3], А. Н. Ширяева [6] и многих других авторов. Довольно много работ посвящено изучению процессов через построение статистических моделей. Так, например, в работах А. И. Орлова [7] и В. Н. Афанасьева [8] рассматривается статистическое прогнозирование процессов эволюции. Для этого строятся эмпирические модели которые конструируются непосредственно из экспериментальных данных, представленных в виде временных рядов. В последнее время активно развивается теория прогнозирования различных явлений, основанная на нелинейной динамике. Она изложена в работах В. И. Арнольда [18], С. П. Крудюмова, Г. Г. Малинецкого [15] и многих других авторов. Строгое математическое обоснование подхода к обработке статистических данных, базирующегося на понятии дифференциального включения, представлено в работах А. Ф. Филиппова, В. И. Благодатских [19], Е. В. Воскресенского [44]. Если рассматривать математические модели явлений как динамические системы, то можно заметить, что многие, совершенно разные по сущности явления, развиваются по одним и тем же законам. Таким образом инструменты и модели нелинейной динамики пригодны для описания различных явлений и процессов. Поэтому необходима разработка методов прогнозирования, которые могли бы учитывать большое количество факторов и при этом позволяли строить управляемые прогнозы.

В качестве основного аппарата исследования в настоящей работе использована математическая теория управления динамическими процессами, которые описываются дифференциальными включениями. В настоящей работе развивается метод, предложенный Е. В. Воскресенским в работе [44]. Этот метод является универсальным, поскольку учитывает все значения в статистической базе данных и может быть применен к процессам различной природы. Эта его особенность чрезвычайно важна, так как существующие на сегодняшний день социальные исследования (в экономике, демографии) при прогнозировании не учитывают скачкообразные изменения статистических данных и, пренебрегая ими, искажают картину [46]. Стоит отметить, что основным недостатком предлагаемого метода является слишком «широкий» прогноз, то есть большой скачок между наименьшими и наибольшими значениями измеряемых величин. Во многих задачах требуется знать лишь поведение верхней или нижней границы интегральной воронки (либо некоторых компонент), либо повлиять только на одну из них в будущем. В работе приводятся базы данных, для которых построены интегральные воронки возможных решений, а сами решения лежат на их границах. В этом видится преимущество метода, основанного на построении дифференциального включения, перед статистическим прогнозированием: метод учитывает «крайние» — маловероятные кривые развития процессов. Отметим, что решения, полученные с помощью динамических методов (обыкновенных дифференциальных уравнений), методов математической статистики, лежат внутри конуса возможных решений. Конус возможных решений описывает всевозможные траектории, в том числе и маловероятные. Поэтому предлагаемые модели могут быть полезны при исследовании. социальных проблем, оценке и прогнозировании состояния некоторых процессов биосферы.

Цель диссертационной работы состоит в построении математической модели, которая позволяла бы на основе статистических данных определять динамику исследуемого процесса. Статистические данные представляют собой некоторую базу данных за известный промежуток времени. Необходимо разработать алгоритм, реализующий модель в виде дифференциального включения, с помощью которого можно строить управляемый прогноз с различными функционалами качества и без них. Разработанный алгоритм должен быть реализован в виде комплекса программ, позволяющего обрабатывать статистические данные и строить на их основе управляемый прогноз. Необходимо разработать методы прогнозирования социально-экономических процессов с различными функционалами качества в виде базы данных ограничений компонент, описывающих исследуемый процесс.

Научная новизна.

Статистические данные, представляющие собой результаты наблюдений за вектором величин, характеризующих процесс, в фиксированные моменты времени задают базу данных (временной ряд). В предположении, что этот временной ряд является рядом значений некоторой абсолютно непрерывной вектор-функции х = х (1) в моменты времени строится дифференциальное включение. Функции х = х (Ь) являются его решениями. Учитывая то, что статистические данные имеют сезонный характер, прогноз строится на очередной сезон (или несколько сезонов) в предположении, что сезонность сохранится. Начиная с определенного момента времени, можно ввести управление. В работе исследуются временные ряды и строятся прогнозы как с управлением, так и без него.

Разработан и реализован в виде программного продукта метод обработки статистических данных и построения прогноза в виде программного движения управляемого процесса. Все результаты являются новыми.

Научная и практическая значимость.

Описанный в диссертации метод позволяет заменить статистическое исследование процесса построением модели, основанной на дифференциальных включениях. Здесь следует отметить, что все возможные решения дифференциального включения принадлежат интегральной воронке. Это дает право считать разработанный метод более адекватным, ибо он учитывает все возможные траектории поведения процесса.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• математическая модель процессов, задаваемых статистическими данными, основанная на построении интегральной воронки дифференциального включения;

• метод построения прогноза в виде интегральной воронки дифференциального включения при заданном функционале качества и без него;

• исследование математической модели безработицы;

• программное обеспечение Cone для построения конуса возможных решений и управляемых прогнозов;

• новый подход к обработке статистических данных в виде построения дифференциального включения на основе этих данных.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

• объединенных семинарах кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского (Саранск, 2006;2010);

• Шестая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009, 1−4 июня) [47];

• III Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008, 15−16 октября) [48];

• XIII научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов. Секция № 78 — «Прикладная математика и информатика.» (Саранск, 2008) [49].

• IV Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2009, 19−21 октября) [50];

• Региональная научно-практическая конференция «Научный потенциал молодежи — будущему Мордовии». Секция № 77 — «Прикладная математика и информатика.» (Саранск, 2009) [51].

• IV Международная научная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2009, 1−12 августа) [52];

• VIII Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2008, 12−16 мая) [53, 54];

• Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010, 3−6 июня) [55];

• IX научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых (Саранск, 2010, 1−3 июля) [56].

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, из них 2 (работы [57, 58]) в изданиях, рекомендованных ВАК к публикации материалов диссертаций.

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 127 листов.

Список литературы

содержит 105 наименований.

Основные результаты исследования:

• построена математическая модель процессов, задаваемых статистическими данными, основанная на построении интегральной воронки дифференциального включения;

• исследована возможность применения математической модели в социологии: предложен метод построения прогноза в виде интегральной воронки дифференциального включения при заданной функционале качества и без него;

• разработана математическая модель для механических систем, движение которых определяется дифференциальным включением: построено оптимальное управление границами конуса возможных решений;

• разработано программное обеспечение для построения конуса возможных решений в виде прикладного программного обеспечения Cone.

Возможные направления дальнейшего исследования: при построении дифференциального включения на управляемом участке можно строить его таким образом, чтобы его решения были устойчивыми (слабо устойчивыми) по определению (1.1.3)((1.1.4)) Среди нерешенных математических задач в данной работе остался вопрос о построении оптимальных уравнений сравнения. Учитывая, что реализация данной математической модели на практике возможна только на ЭВМ, здесь приемлемого результата можно добиться методом перебора. Кроме того, не исключено, что если задача построения оптимальных уравнений сравнения будет решена математически, то для практики этот алгоритм будет требовать слишком большого времени решения.

Заключение

.