Объект исследования и актуальность темы. В настоящее время задачи нахождения выпуклых тел с экстремальными геометрическими свойствами имеют актуальное значение, возникая в различных приложениях, таких, как проектирование электротехнических устройств, поиск оптимальных форм заготовок в раскройно-заготовительных производствах, упаковка тел и других аспектах экономного расходования материалов. Экстремальные задачи геометрии и изопериметрические неравенства имеют широкую область применения в геометрии, теории приближений, выпуклом анализе. Рассматриваемые задачи сводятся к определению формы объемной фигуры, оптимальной по заданному критерию и удовлетворяющей требованиям к ее ширине.
Под экстремальными задачами геометрии понимаются задачи нахождения выпуклых тел, обладающих максимальной или минимальной площадью поверхности либо максимальным или минимальным объемом. Решение этих задач геометрическими методами описаны в ряде работ российских и зарубежных авторов. Данные методы не всегда позволяют найти экстремальную фигуру с заданными ограничениями. Ряд экстремальных геометрических задач для плоских фигур с дополнительными ограничениями на ширину фигуры решен методами оптимального управления и нелинейного программирования в работах Андреевой Е. А., Красножснова Г. Г. При этом ощутимой является нехватка методов решения экстремальных задач геометрии о пространственных выпуклых фигурах с заданными ограничениями на ширину.
Ввиду этого разработка и реализация методов решения экстремальных пространственных задач геометрии является актуальной научной проблемой, ее решение позволяет расширить круг решаемых практических задач, связанных с нахождением оптимальной формы тел. Формально решаемые задачи могут быть представлены задачами оптимального управления с фазовыми ограничениями. В диссертационной работе разработаны алгоритмы построения численного решения рассматриваемых задач, на основании которых создан комплекс программ в среде программирования Borland Delphi 7.
Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является формализация задач о построении оптимальных выпуклых тел в форме задач оптимального управления и нелинейного программирования, исследование свойств полученных задач, разработка и реализация аналитических и численных методов их решения.
Основные задачи диссертационного исследования. Поставленная в диссертации цель работы достигается путем решения следующих задач:
1.Описание свойств выпуклых пространственных тел с заданными ограничениями на ширину с помощью опорных функций.
2.Постановка экстремальных задач геометрии в форме задач оптимального управления с фазовыми ограничениями.
3.Вычисление аналитических решений задач о построении выпуклых экстремальных фигур вращения и произвольных выпуклых экстремальных пространственных фигур.
4.Разработка и реализация алгоритмов метода штрафных функций для вычисления оптимальных решений в задачах о построении экстремальных выпуклых фигур вращения с заданными ограничениями на ширину, исследование зависимости оптимальных решений от вычислительных параметров.
5.Аппроксимация экстремальных геометрических задач задачами нелинейного программирования, разработка и реализация численных алгоритмов их решения.
Методы исследования. В работе для формализованного описания изучаемого класса задач применяется математический аппарат теории выпуклых тел, методы выпуклого анализа, дифференциальной геометрии, при доказательстве теорем используются методы оптимального управления, нелинейного программирования, функционального анализа. При реализации программного комплекса применены методы объектно-ориентированного проектирования.
Основными результатами диссертационного исследования, выносимыми на защиту, являются:
1.Постановка экстремальных пространственных геометрических задач в форме задач оптимального управления с фазовыми ограничениями.
2.Аналитическое решение экстремальных геометрических задач о построении выпуклых центрально-симметричных фигур вращения с ограничениями на ширину, построение аналитического решения задач о нахождении формы произвольных выпуклых пространственных фигур максимальной площади поверхности и объема.
3.Разработка и реализация алгоритмов метода внешних штрафных функций для решения задач о построении выпуклых центрально-симметричных фигур вращения максимальной и минимальной площади поверхности с заданными ограничениями на ширину.
4.Аппроксимация экстремальных пространственных геометрических задач с заданными ограничениями на ширину задачами нелинейного программирования, разработка численных алгоритмов поиска их приближенных оптимальных решений.
5.Сравнительный анализ методов оптимального управления и нелинейного программирования при решении экстремальных геометрических задач для выпуклых пространственных фигур с заданными ограничениями на ширину.
Научная новизна выполненной работы заключается в следующем:
1.Впервые получено аналитическое решение задач о построении экстремальных пространственных выпуклых центрально-симметричных фигур вращения с ограничениями на ширину.
2.Получено аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой пространственной фигуры максимального объема и максимальной площади поверхности.
3.Произведен сравнительный анализ методов оптимального управления и нелинейного программирования при решении пространственных экстремальных геометрических задач.
Практическая ценность результатов заключается в разработке, реализации и сравнительном анализе методов решения задач о построении экстремальных пространственных фигур с заданными ограничениями на ширину. Разработанные алгоритмы расширяют круг методов решения прикладных задач, требующих определения оптимальной формы пространственных выпуклых тел.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгостью проводимых математических оснований при формулировании и доказательстве теорем. Достоверность алгоритмов и программ расчетов обеспечивается обоснованностью используемых допущений, проверяется сравнением полученных результатов с известными аналитическими решениями.
Внедрение результатов работы. Научные результаты использованы в учебном процессе математического факультета Тверского государственного университета при подготовке студентов по специальности 10 100 Математика, направлению 51 1200 — Математика. Прикладная математика.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы и отдельные положения представлены на Межвузовской научно-практической конференции, посвященной 300-летнему юбилею Л. Эйлера (Тверь, 2007 г.), научных семинарах кафедры компьютерной безопасности и математических методов управления ТвГУ (2004;2008 гг.) и ВЦ РАН (2008 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 2 статьи — в изданиях, рекомендованных ВАК для представления результатов кандидатских диссертаций.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из содержательной части, включающей введение, четыре главы и заключение, изложенной на 142 страницах, списка литературы из 100 наименований и приложенияобщий объем работы — 225 страниц.
Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК России: Цветкова Е. Г. Задача о построении выпуклой фигуры вращения, обладающей минимальной площадью поверхности, с заданными ограничениями на ширину // Вестник ТвГУ. Сер. Прикладная математика. 2007. № 7. С. 149−161.
2. Цветкова Е. Г. Решение задачи о построении выпуклого тела вращения максимальной площади поверхности методами нелинейного программирования // Вестник ТвГУ. Сер. Прикладная математика. 2008. № 3(10). С. 79−96. в других изданиях:
3. Андреева Е. А., Цветкова Е. Г. Оптимальное управление процессом отлова рыбы / Е. А. Андреева, Е. Г. Цветкова // Применение функционального анализа в теории приближений: Сборник научных трудов. Тверь: ТвГУ, 2005. С. 132−144.
4. Андреева Е. А., Цветкова Е. Г., Савичева Ю. А. Решение экстремальных задач геометрии двойственным методом: Учеб. пособие. Тверь: ТвГУ, 2007. 180 с.
5. Цветкова Е. Г. Задача о построении поверхности вращения, обладающей максимальным объемом, с заданными ограничениями на ширину / Е. Г. Цветкова // Межвузовская научно-практическая конференция, посвященная 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера: Сборник статей. Тверь: ТвГУ, 2007. С. 91−104.
6. Цветкова Е. Г. Задача о построении поверхности вращения, обладающей максимальной площадью поверхности, с заданными ограничениями на ширину / Е. Г. Цветкова // Многоуровневая система подготовки специалистов на основе информационных и коммуникационных технологий образования: Сборник научных трудов. Тверь: ТвГУ, 2006. С. 176 — 187.
7. Цееткова Е. Г. Решение экстремальных задач геометрии методами оптимального управления и нелинейного программирования // Математика. Информационные технологии. Образование: Сборник научных трудов. Оренбург: ОГУ, 2008. С.103−106.
