Геометрические и экстремальные задачи для отображений с симметрией переноса

Актуальность темы

Краткие исторические сведения.

Начало применению геометрического направления в теории голоморфных отображений было положено знаменитой теоремой о конформном изоморфизме односвязных областей, сформулированной Бернхардом Риманом в 1851 году в его докторской диссертации «Основы общей теории функций комплексной переменной» [29]. С того времени конформные отображения становятся и остаются до сегодняшнего дня одним из основных математических методов решения задач гидрои аэродинамики, механики сплошной среды, теории упругости, многих разделов физики. Выявление возможности использования методов конформных отображений при решении экстремальных задач и возможность использования методов решения экстремальных задач в теории конформных отображений, установление нелинейности множества однолистных отображений и работы Кебе [20],[21] в начале прошлого столетия привели к созданию геометрической теории функций комплексного переменного, которая является одним из основных направлений современных математических исследований. В настоящее время имеется немало различных методов решения экстремальных задач в различных классах однолистных голоморфных отображений. В книге Г. М. Голузина «Геометрическая теория функций комплексного переменного» 1966 года издания (дополнение) называется восемь методов. Одним из основных и эффективных методов является метод, восходящий к основополагающей работе К. Левнера 1923 года [26] и получивший название метода параметрических представлений (параметрический метод). С различными обоснованиями этого метода и его применениями можно познакомиться по книгам Г. М. Голузина [15], В. К. Хеймана [33], И. А. Александрова [1]. С другими методами, созданными для решения экстремальных задач, такими как вариационно-геометрический метод, метод площадей, метод внутренних вариаций, метод квадратичных дифференциалов, метод интегральных представлений и другими можно познакомиться по книгам и работам Г. М. Голузина [15], И. А. Александрова [2], Н. А. Лебедева [25], В. Н. Дубинина [19], И. М. Милина [28], В. Я. Гутлянского [16], М. Шиффера [34],[35], Дж. Дженкинса [18], К. И. Бабенко [10] и другим. Необходимо отметить большой вклад Томской школы математиков в развитии большинства из упомянутых методов, в создании новых объединенных методов и в решении многих трудных задач в геометрической теории функций. Отдельные этапы исследований этой школы отражены в докладе П. П. Куфарева на Третьем Всесоюзном математическом съезде в 1956 году [24], в дополнении к книге Г. М. Голузина [15] и монографии И. А. Александрова [2]. Это, прежде всего, вариационно-параметрический метод П. П. Куфарева [22].

Как правило, экстремальные задачи рассматриваются для отображений, заданных в единичном круге. В то же время некоторые вопросы механики сплошных сред, интерполяционные проблемы в теории голоморфных отображений и другие задачи вызвали интерес к рассмотрению полуплоскости в качестве канонической области определения. При рассмотрении экстремальных задач на классах однолистных голоморфных отображений большой интерес представляют классы отображений с дополнительным условием симметрии множества значений (симметрии относительно вещественной оси, симметрии вращения, симметрии переноса и другие). Несмотря на определенные успехи и большие усилия многих математиков, исследование класса S отображений с р-кратной симметрией вращения остается трудной задачей. В работе [7] решена задача об относительном росте модуля отображения и модуля производной в классе S, при этом как следствие получены на единой основе результаты Г. М. Голузина [14], Р. Робинсона [30], Д. Дженкинса [18], В. Я. Гутлянский [17] получил точные оценки arg/' в классе Sp, а И. А. Александров и Г. Д. Садритдинова [8] нашли экстремальные отображения в этой задаче. И. Е. Базилевичем [11] исследованы множества значений систем начальных коэффициентов для ограниченных отображений из класса S. В кандидатской диссертации.

Л.М.Бер [12] на основе параметрического метода получила оценки коэффициентов отображений, обратных к отображениям из класса S, а также усиление теорем искажения Г. М. Голузина для класса Sp.

П.П.Куфаревым [23] была поставлена задача об изучении отображений голоморфных и однолистных в верхней полуплоскости. В. В. Соболев [32] создал вариационно-параметрический метод для отображений полуплоскости в себя с гидродинамической нормировкой на бесконечности и вместе с Т. Н. Селляховой [31], С. Т. Александровым [9] решил до конца ряд сложных экстремальных задач. И. А. Александров и В. В. Баранова [6] развили метод внутренних вариаций для однолистных в единичном круге отображений с симметрией сдвига. И. А. Александровым [4] было начато исследование однолистных голоморфных в полуплоскости отображений с симметрией переноса вдоль вещественной оси. Цель работы.

Изучить класс голоморфных однолистных в верхней полуплоскости отображений с симметрией переноса вдоль вещественной оси путем построения метода параметрического представления в этом классенайти множества значений конкретных функционаловполучить формулу типа формулы Кристоффеля-Шварца для отображений полуплоскости на счетноугольник. Методы исследования.

В работе используются общие методы математического анализа, методы теории функций комплексного переменного, методы геометрической теории конформных отображений, методы теории дифференциальных уравнений. Научная новизна и практическая значимость.

Постановка темы диссертационной работы принадлежит И. А. Александрову, под руководством которого получены основные результаты.

Все результаты являются новыми.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут использоваться при чтении спецкурсов для студентов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного. Результаты и методы исследования данной работы могут также быть полезны при решении задач геометрической теории конформных отображений, при изучении новых классов голоморфных однолистных отображений, при исследовании задач гидромеханики, теории упругости и т. п.

Основные результаты работы.

Следующие результаты автор считает основными и выносит на защиту.

Выделен класс Х2л голоморфных и однолистных в верхней полуплоскости отображений, множества значений которых обладают симметрией переноса вдоль вещественной оси.

Получено интегральное представление голоморфного в верхней полуплоскости отображения с симметрией переноса через его мнимую часть на вещественной оси (получена формула типа формулы Шварца).

Развит метод параметрических представлений на классе Х1л (доказана дифференцируемость левнеровского семейства отображений по параметру, выведено уравнение Левнера). Для трех конкретных управляющих отображений уравнение Левнера удалось проинтегрировать.

Найдены множества значений или мажорантные множества для ряда функционалов, связанных со значениями отображений и значениями производной в фиксированной точке.

Получена формула типа формулы Кристоффеля-Шварца для отображений из класса Х2к, множеством значений которых является счетноугольник. Для некоторых конкретных счетноугольников отображения получены в явном виде. Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории функций комплексного переменного в Томском государственном университете, на Второй Сибирской геометрической конференции (26−30 ноября 1996 г., Томский государственный педагогический университет), на Международной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике» (17−20 июня 1997 г., Томский государственный университет), на V Казанской международной летней школе-конференции (27 июня-4 июля.

2001 г., Казанский государственный университет), на Третьей межрегиональной конференции «Математическое образование на Алтае» (29 ноября.

2002 г., Барнаульский государственный педагогический университет). Основное содержание диссертации изложено в работах [Kl] - [К7] из списка научных трудов автора, приведенного на страницах 84−85. Структура работы.

Диссертация состоит из введения, 11 параграфов, списка теорем (для удобства ссылок), списка литературы, содержащего 35 наименований, и списка научных трудов автора. В работе 10 рисунков. Общий объем диссертации составляет 85 страниц.

1. Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. — М.: Наука, 1976. — 344 с.

2. Александров И. А. Методы геометрической теории аналитических функций. — Томск: ТГУ, 2001. — 220 с.

3. Александров И. А. Теория функций комплексного переменного.- Томск: ТГУ, 2002.-510 с.

4. Александров И. А. Конформные отображения полуплоскости на области с симметрией переноса//Известия ВУЗов. Математика. -№ 6(445). — 1999.-С.15−18.

5. Александров И. А. Отображения на области с симметрией переноса// Международная конференция Всесибирские чтения по математике и механике: Избранные доклады. Том 1, Математика. — Изд-во Томского университета, 1997. — 35−36.

6. Александров И. А., Баранова В. В. Метод вариаций в теории однолистных функций с симметрией сдвига// сборник «Вопросы геометрической теории функций», выпуск 7, Труды Томского университета, т.238. 1974, 3−32.

7. Александров И. А., Копанев А. О взаимном росте модуля однолистной функции и модуля ее производной//СМЖ, т.7, 1966.-С.23−30.

8. Александров И. А., Садритдинова Г. Д. Отображения с симметрией вращения//Известия ВУЗов. — 1998. — № 10. — 3−6.

9. Бер Л. М. Применение метода параметрических представлений к исследованию экстремальных задач теории отображений: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Томский государственный университет, 2003.

10. Волковыский Л. И., ЛунцГ.Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. -М.: Физматгиз, 1961.-320 с.

11. Голузин Г. М. Некоторые вопросы теории однолистных функций // Труды ин-та матем. АН СССР им. В. А. Стеклова.-1949.-т. 2 7. -С. 1 — 109.

12. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1966. — 344 с.

13. Гутлянский В. Я. Параметрическое представление однолистных функций // ДАН СССР. — 1970. — т. 194. — 750 — 753.

14. Гутлянский В. Я. Теорема вращения в классе однолистных рсимметричных функций// Матем. заметки. — 1971. -10. -С.239−242.

15. Дж. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения. -М.:ИЛ, 1962. -266 с.

16. Дубинин В. Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного неременного // Успехи матем. наук. — 1994.-т. 49, в. 1(295).-С. 3−76.

17. КоеЬе Р. Uber die Unifonnisiemng beliebiger analytischen Kurven// Nachr. Gess. Wiss. Gott., Math-Phys. — К 1. — 1907. — P. 191 — 210.

18. Koebe P. Uber die Unifomiisiemng der algebraischen Kurven. II // Math. Ann. -1910. -69. -P. 1 -81 .

19. Куфарев П. П. Об однопараметрических семействах аналитических функций//Матем. сб. — 1943. — т. 13 (55). № 1. -С. 87 — 118.

20. Куфарев П. П. Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной полярной особенностью правой части//Ученые зап. Томского ун-та, 1. 1946. — 35−48.

21. Куфарев П. П. Некоторые методы и результаты теории однолистных функций //Труды 3-го Всесоюзного матем. съезда. М. Т.З. 1958. -С.189−198.

22. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. — М: Наука, 1975.-336 с.

23. L6wner К. Untersuchungen fiber schlichte konfonne Abbildungen des Einlieitskreises // Math. Z. — 1923. — v. 7, № 3. — P. 103 — 121.

24. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений — М.-Л.: Гостехиздат, 1951. Т.З.

25. Милин И. М. Однолистные функции и ортонормированные системы. — М.: Наука, 1971. -256 с.

26. Риман Б. Сочинения. — М.-Л.: ОГИЗ, 1948. — 544с.

27. Robinson R.M. Bounded univalent functionsZ/Trans. Amer. Math. Soc. 52. 1942.-P.426−449.

28. Селляхова т.н. Множество значений коэффициентов функций, однолистных в полуплоскости: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Тюменский государственный университет, 1975.

29. Schiffer М. AiTiethod of variation within the family of simple fimctions/ZProc. London Math. Soc. — 1938. — 44 (ser 2). — P. 432 — 449.