Метод электрических цепей Киргофа в задачах расчета стационарных магнитных полей

Непрерывный рост мощностей электротехнических устройств, тенденция уменьшения их габаритов и экономии дорогостоящих материалов, ведущая к режимам функционирования близким к предельным, остро ставят вопрос о повышении точности расчета электромагнитных полей в этих устройствах. Детальное исследование особенностей распределения поля в элементах устройств, невозможно без численных расчетов полей с использованием вычислительной техники [1—3]. Поэтому актуальной проблемой теоретической электротехники является разработка эффективных методов моделирования и расчета магнитного поля, пригодных для сложных форм границ раздела сред с неоднородными, анизотропными и нелинейными свойствами. На сегодняшний день создан целый ряд численных методов анализа магнитного поля: методы интегральных уравнений, конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов, декомпозиционнные методы, методы сведения полевых задач к цепным задачам.

Использование схем замещения при выполнении инженерных расчетов делает последние более наглядными, однако длительное время электрические цепи Кирхгофа (ЭЦК) служили лишь математической основой для физического моделирования полей различной природы на так называемых электрических сетках [4−8]. Соответствующие ЭЦК, находили, используя аналогию между конечно-разностным представлением дифференциальных уравнений в частных производных и соотношениями между током и напряжением на элементах ЭЦК [4, 5, 9]. Но, появившиеся в последнее время мощные пакеты прикладных программ по расчету сложных электрических и электронных схем, вкупе с бурным развитием компьютерной техники, стимулируют использование ЭЦК в качестве математической модели физических полей, предназначенной для компьютерной реализации. Об этом свидетельствуют работы российских, к примеру в [10—15], и зарубежных авторов, таких как [16−18]. Вместе с тем, при решении типичных для практики электромагнитных расчетов задач методом ЭЦК, зачастую получаются цепи с десятками или сотнями тысяч ветвей и узлов, или даже с их бесконечным числом, расчет которых остается проблемой для современных ЭВМ, а попытки снизить её остроту представляются актуальными.

Об актуальности построения новых схемных моделей для расчета магнитных полей и характеристик электротехнических устройств свидетельствует значительное число диссертаций, монографий и статей, посвященных этой тематике, в том числе работы акад АН СССР и РАН К. С. Демирчяна, акад. АН СССР JI.P. Неймана, акад. РАН Я. Б. Данилевича, А. Б. Новогородцева, М. А. Шакирова, Кияткина Р. П., С. М. Аполлонского, чл. корр. РАН П. А. Бутырина, А.В. Иванова-Смоленского, Э. В. Колесникова, Э. А. Мееровича, JI.A. Цейтлина, В. А. Филина, Г. Н. Цицикяна и др., работы профессоров ЮРГТУ (НПИ) (Коломейцев Л.Ф., В. И. Астахов, Г. К. Птах, А.Н. Ткачев), а также работы зарубежных авторов (Jin Hur, Hamid. A. Toliyat, Jung-Pyo Hong, Chun Y-D., Lee J., Wakao S., M.V.K. Chari, H.B. Dwight, R.L. Ferrari, B. Hague, H. Kaden, C.I. Mocanu, P.P. Silvester, M. Stafl, R.L. Stoll, J. Turowski и др.). Несмотря на обилие работ в данном направлении вопросы экономизации расчетов ЭЦК остаются актуальными.

В настоящее время общепринятым способом получения схемы замещения является, так называемый традиционный метод [5] (коротко описан в главе 1). Недостатками последнего являются присутствие погрешности моделирования уже в самой структуре модели, и невозможность оценить погрешность моделирования в терминах энергетических характеристик исследуемых устройств, что важно для многих задач электромеханики.

Цель данной работы состоит в экономизации математического аппарата для расчета стационарного магнитного поля на основе ЭЦК, с последующей реализацией на ЭВМ. Поставленная цель предполагает решение следующих задач: 1. Развить метод ЭБ [10, 11] получения модели в виде ЭЦК как наиболее перспективного и обладающего возможностью оценки погрешности моделирования в терминах энергетических характеристик исследуемых устройств.

2. Создать на графах ЭЦК необходимый математический аппарат для формулирования и исследования аналогов краевых задач математической физики.

3. Адаптировать методы теории потенциала к графам ЭЦК.

4. Создать эффективное программное обеспечение для расчета методом ЭЦК стационарных магнитных полей с возможностью масштабирования в присутствии тел с неоднородными, анизотропными и нелинейными свойствами.

В главе первой настоящей работы ЭЦК рассмотрена, как модель среды, несущей поле. Описаны методы получения схем замещения, проведено сравнение методов, рассмотрены типичные для практики электромагнитных расчетов варианты краевых задач, используемые при нахождении стационарного магнитного поля. Показано использование функции потока и потенциала в преобразовании задачи для магнитного поля на плоскости к ЭЦК. Рассмотрены особенности моделирования трехмерных задач.

Во второй главе на связном графе введены скалярные и векторные дискретные функции, определены аналоги операций векторного анализа, поставлены и исследованы на корректность в евклидовых пространствах аналоги основных внутренних и внешних краевых задач математической физики для уравнений Лапласа-Пуассона.

В третьей главе рассмотрены методы теории потенциала на графе ЭЦК. Предложен способ получения фундаментального решения уравнения Лапласа и приведено представление дискретной функции на графе через фундаментальное решение. Выполнено сведение краевой задачи дифракции на графе к матричному уравнению второго рода, обоснована применимость метода последовательных приближений к его решению. Описано масштабирование как способ экономизации расчета ЭЦК. Рассмотрен случай нелинейных свойств материала сердечника.

В четвертой главе описан созданный на основе построенной теории программный пакет, приведены результаты контрольных расчетов. Также рассмотрены примеры моделирования технических задач с использованием созданного программного пакета.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [19—35]. Она была апробирована на следующих конференциях:

1. Конференция студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ) 2005 и 2006 годов.

2. V Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России, декабрь 2006 г., г. Ростов-на-Дону, Россия.

3. «52. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь 2007 г., г. Ильменау, Германия.

4. Y Всероссийская научно—практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь XXI века — будущее российской науки», май.

2007 г., г. Ростов-на-Дону, Россия (диплом за второе место).

5. Третья ежегодная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН, апрель 2007 г., г. Ростов-на-Дону, Россия (диплом за второе место).

6. III Всероссийская школа-семинар «Математические методы и биомеханика в современном университете», маяиюнь 2007 г., пос. Дивноморское, Россия.

7. Lyapunov Memorial Conference 2007, июнь 2007 г., г. Харьков, Украина.

8. Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование, август-сентябрь 2007 г., г. Волгодонск, Россия.

9. VI Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России, декабрь 2007 г., г. Ростов-на-Дону, Россия.

10. Days on Diffraction'2008, июнь 2008 г., г. Санкт-Петербург, Россия.

11. Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна ВЗМШ-2008, январь.

2008 г., г. Воронеж, Россия.

12. «53. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь 2008 г., г. Ильменау, Германия.

13. Четвертая ежегодная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН — 2008, апрель 2008 г., г. Ростов-на-Дону, Россия {диплом за третье место).

14. Days on Diffraction'2009, май 2009 г., г. Санкт-Петербург, Россия.

15. «54. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь 2009 г., г. Ильменау, Германия.

Основной объем работы составляет 141 стр. и включает 52 рис. Список цитируемой литературы содержит 54 наименования.

Основные результаты работы формулируются в следующем виде:

1. Развит метод ЭБ — математически строгого получения модели в виде ЭЦК. А именно, предложена оригинальная технология получения модели в виде бесконечной ЭЦК методом энергетического баланса. Предложен новый способ моделирования методом ЭБ, удобный при наличии источников поля в моделируемом объекте. Проведено сравнение методов получения схем замещения, традиционного и метода ЭБ. Рассмотрены типичные для практики электромагнитных расчетов варианты краевых задач, используемые при нахождении стационарного магнитного поля. Показаны особенности использования функции потока и потенциала в преобразовании задачи для магнитного поля на плоскости к ЭЦК.

2. На графах ЭЦК введен необходимый математический аппарат для формулирования и исследования аналогов классических краевых задач математической физики. А именно, введены скалярные и векторные функции, определены аналоги алгебраических операций и операций векторного анализа, поставлены и исследованы на корректность в евклидовых пространствах аналоги основных внутренних и внешних краевых задач математической физики для уравнений Лапласа-Пуассона.

3. Применительно к задаче дифракции на графе ЭЦК адаптированы методы теории потенциала позволяющие свести краевую задачу дифракции на графе к матричному уравнению минимальной размерности. Обоснован? применимость метода последовательных приближений к его решению. Предложен способ получения фундаментального решения уравнения Лапласа и приведено представление дискретной функции на графе через фундаментальное решение.

4. Предложен оригинальный способ ускорения сходимости, пользованием двух форм материального уравнения в зависимости от степени насыщения, итерационного процесса, учитывающего нелинейность, обеспечивающий монотонность сходимости.

5. На основе полученных математических моделей и алгоритмов разработан пакет программ «KCNM», предназначенный для расчета стационарных и квазистационарных магнитных полей методом ЭЦК в неоднородных, анизотропных или нелинейных средах с комплексной проницаемостью. Предусмотрена возможность масштабирования фрагмента области. Разработанный пакет программ контролировался на тестовой задаче и сравнением с известными пакетами. Он может найти применение в электромашиностроении, трансформаторостроении, приборостроении, а также в вузах на специальностях «Прикладная математика», «Теоретическая электротехника», «Электромеханика» при выполнении курсовых и дипломных работ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе предложен эффективный алгоритм метода ЭЦК для расчета стационарных магнитных полей в неоднородных, анизотропных или нелинейных средах.