О разрешимости функционально-дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом возникают в самых разнообразных областях современной науки и техники: автоматике и телемеханике, радиоэлектронике и электрорадиосвязи, радиолокации и радионавигации ([46],[51]), в теории упругости, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе ([19],[36],[46]), в математической теории управления [53], биолого-математической теории флуктуаций совместно живущих видов [18], при описании изменений антигенов и антител в организме [48], при описании явлений микромира, задачах теории поля, релятивистской динамике, физике плазмы, физике твердого тела [49]. Применения дифференциально — функциональных уравнений «пронизывают все ветви современной науки» ([10], с.9).

Согласно [44] дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом (ДУ с OA) называется уравнение, в которое искомая функция и ее производные входят при различных значениях аргумента t. Учет «феномена запаздывания» важен для правильного качественного и количественного описания различных систем и процессов. Пренебрежение наличием даже малых запаздываний ведет к парадоксальным выводам [29].

Во многих случаях системы с последействием и запаздыванием можно рассматривать как системы с сосредоточенными параметрами, но некоторые системы имеют звенья с существенно распределенными параметрами (системы управления прокатными станами, нагревательными печами, гидротехническими сооружениями [51], биодинамические системы [18], длинные электрические линии [29], уравнение нелокальной квантовой теории поля [49]).

Первоначальное появление ДУ с OA в 18 веке связывается с именами Кондорсе, Эйлера и Бернулли. Наиболее ранние исследования задач, сводящиеся к решению ДУ с OA принадлежат Эйлеру [52]. Первая из этих задач была опубликована в его работе 1751 года «Новый метод нахождения взаимных алгебраических траекторий» .

С середины 20 века теория дифференциально — разностных уравнений получила значительное развитие. Существенно способствовал этому интерес к теории автоматического регулирования. Имеется обширная библиография (главным образом относящаяся к случаю конечномерного пространства), посвященная различным аспектам этой теории. Отметим монографии А. Д. Мышкиса [44], Р. Беллмана, К. Кука [10], Дж. Хейла [55], Э. Пинни [48], Л. Э. Эльсгольца [58], С. Б. Норкина [46], Н. В. Азбелева [2], В. Г. Курбатова [34], Г. А. Каменского, А. Л. Скубачевского [24], В. Б. Колмановского, В. Р. Носова [29], А. А. Миролюбова, М. А. Солдатов [43], авторы которых внесли значительный вклад в развитие теории ДУ с OA.

Теория уравнений с OA со значениями в банаховом прстранстве в целом разработана менее, чем для уравнений без отклонений аргумента.

Уравнение = / с линейным оператором: Q) В, где Вбанахово пространство, а @ - банахово пространство, изоморфное прямому произведению В х Rn, называется абстрактным функционально — дифференциальным уравнением [2]. Теория абстрактного функционально — дифференциального уравнения сформировалась за последние годы и начинает играть заметную роль в различных исследованиях. В [2] общая теория абстрактного функционально — дифференциального уравнения использована для изучения линейного скалярного уравнения п — го порядка и некоторых классов импульсивных систем, при изучении приводимости нелинейных уравнений, в математическом моделировании детерминированных линейных систем.

Основы теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторами в банаховом пространстве были заложены в работах Э. Хилле Р.Филлипса [56], К. Иосиды [23], Т. Като [27]. Дальнейшее развитие их фундаментальные результаты получили в работах С. Агмона, Л. Ниренберг [1], С. Г. Крейна [32], С. Я. Якубова [59].

Теория слабых и обобщенных решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве рассмотрена Лионсом Ж.-Л. и Ма-дженесом Э. в [35].

Изучением операторных интегро — дифференциальных уравнений в банаховом пространстве занимался Я. В. Быков [11].

В последнее время появилось немало работ, в которых изучаются вопросы разрешимости и устойчивости для функционально — дифференциальных уравнений в банаховых и, в частности, в гильбертовых пространствах (см. [4] - [8], [12] - [17], [38], [41], [42], а также указанную там литературу).

В работах [12] - [17] В. В. Власовым получены результаты о нетеровой и корректной разрешимости в весовых пространствах Соболева некоторых начально — краевых задач на полуоси для некоторого класса функционально — дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, включающих в себя некоторые интегро — дифференциальные уравнения, а также дифференциально — разностные уравнения с операторными коэффициентами. В [13], [15] изучены некоторые свойства оператор — функций, являющихся характеристическими многочленами уравнений u'{t) + Cu{t) + BCu (t)+ / K1(t-s)Cu{s)ds+ / K2{t, s) Cu{s)ds = f{t), t t 0 0 с компактными операторами В, Cj в гильбертовом пространстве. Ряд результатов о разрешимости и устойчивости для интегро — дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием приведены в работе Миллера К. [41].

Малыгина В.В. в [38] установила теоремы об устойчивости для уравнения t x'(t) + J dTR (t, s) x (s) = 0, t > г (те R+), (1) r где R: A —> £f (В) — банахова алгебра действующих из В в.

В линейных ограниченных операторов с естественной нормой и единицей Е, R+ = [0,+оо) — Л = {(?, s)? R+ х: t ^ s}. При некоторых предположениях относительно функции R (t, 5), при любой начальной точке т? Я+ решение уравнения (1) с заданными начальными условиями существует, единственно и имеет представление x (t) = C (t, т) х (т), где C (t, r): А —> Л?(В) — функция Коши уравнения (1).

Вопросы разрешимости и устойчивости для уравнения (1) в конечномерном пространстве исследованы в [2], [3].

В работе [28] М. Квапиша установлены теоремы о существовании, единственности и сходимости последовательных приближений для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом вида оо x'(t) = F lt, x (t), J до (t, s, x (s))dsy J gi («, s, x{t — s)) dari (s, t),.

-«У 91 (t, s, x (ts))d3rt (s, t) в банаховом пространстве, являющихся обобщением дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, рассмотренных в работе [44].

Некоторые результаты о разрешимости и устойчивости для уравнения ь x'(t) — f d8K (t, s) x (t — s) = f (t) в конечномерном пространстве устаноа влены в [29].

Наиболее близкими к предмету настоящего исследования являются работы Р. Г. Алиева [4] - [7] по изучению операторно — дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве вида т.

Dtu (t) — J2 iAi + AJ (0] u (t — hj — hj (t)) = f (t) (2) j=о.

Алиевым Р.Г. получены условия на резольвентуR (A), коэффициенты Aj, Aj (t), отклонения аргумента hj, hj (t), j = 0, ra и правую часть f (t), обеспечивающие однозначную и нетеровую разрешимость уравнения (2), устойчивость и асимптотическую устойчивость решений уравнения (2). Причем было доказано существование как односторонних, так и двусторонних, т. е. существующих на всей оси, решений. Были также исследованы вопросы разрешимости и устойчивости для уравнения (2) с периодическими и почти — периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента.

Целью настоящей диссертации является изучение функциональнодифференциального уравнения второго порядка.

1 / т.

Lpou (t) =D2tu{t) — Y, Е + А*№ fc=0 j=0 b J dr [Ak{r) + Bk (t, T)]ST a t > to ^ —oo, —oo < a ^ b < oo, коэффициентами которого являются оператор — функции, принимающие значения в множестве, вообще говоря, неограниченных операторов,.

D}u (t) = f (t),.

3) действующих в гильбертовом пространстве. Рассматриваются случаи как постоянного, так и переменного запаздывания.

Такое уравнение до настоящего времени не было исследовано.

Нами получены условия, обеспечивающие корректную разрешимость уравнения (3) в пространствах с экспоненциальным весом вида exp (2at), a€l, исследована нормальная разрешимость уравнения в смысле конечномерности ядра и коядра оператора Lpo. Условия накладываются на резольвенту, оператор — функцию, являющуюся квазимногочленом данного уравнения, операторные коэффициенты, отклонения аргумента и правую часть.

Отличие приводимых в данной работе результатов от предыдущих состоит, прежде всего, в иной интерпретации решения, представления его в явном виде, наложении условий на резольвенту, переменные отклонения аргумента. Наличие в уравнении «распределенного запаздывания» требует менее ограничительных условий на оператор — функцию Bk (t, r).

Обозначения и определения.

Вводные замечания.

X, Y — гильбертовы пространства с нормами Ц’Ц^, ||-||Y ¦> X С Y,.

IMIy^IMIx, Уисх.

B (X, Y) — пространство линейных ограниченных операторов, отображающих X в Y. u (t) — абстрактная функция действительного аргумента t со значениями в X.

Функция u[t) 6 X называется сильно непрерывной в точке to" если \u (t) — u (to)\x —У 0 при t —> to и сильно непрерывной на [а, Ь], если она непрерывна в каждой точке отрезка [а, Ъ]. Норма непрерывной на [a, b] функции есть неотрицательная скалярная непрерывная функция.

Операторная функция A (t), определенная на множестве Е С Ж и со значениями в В (Х, Y) непрерывна в точке t = to в смысле сильной операторной топологии, если lim j|(^4(?) — A{to)) = 0 при любом х Е X и непрерывна в точке t = to в смысле равномерной операторной топологии, если lim \A (t) — А (?о)||у = 0 [56]. t—*to.

Векторная функция u (t) G X, определенная на промежутке (а, 6) сильно дифференцируема в точке t = to, если существует такой элемент «'(to) € X, что ц ('о+Д)-Ц (*о) 0} когда 6 0 X.

При этом и'(to) называется сильной производной функции u (t) в точке to [56] .Сильно дифференцируемая функция, очевидно, сильно непрерывна.

Дифференцируемая в области Q) комплексной плоскости функция u[t) называется регулярной, или аналитической или голоморфной в Я. Операторнозначная функция Я (А)? B (X, Y) регулярна, если она дифференцируема по норме в каждой точке комплексной области. В том случае, когда R (А) € B (X, Y) регулярна и существует оператор Я (Ло)" 1? B (Y, X), функция Д (А)-1 существует, принадлежит B (Y, X) и регулярна для достаточно малых |Л — Ло| [27]. Для R (X) имеет место теорема Коши об обращении в нуль интеграла по замкнутому контуру. В окрестности изолированной особой точки Ао имеет место разложеоо ние R (А) = ^ Ап (А — Ао) п, сходящееся по норме локально равноп=—оо мерно относительно А. Особая точка Ао есть полюс, если последнее разложение содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями, А — Ао. Если в области $ R (А) имеет в качестве особых точек лишь полюса, то R (А) называется мероморфной функцией в [32].

Векторная функция u (t), заданная на промежутке [а, Ъ] и со значениями в X, называется функцией с ограниченным изменением, если sup oo при любом выборе конечного числа непересекающихся промежутков () в [а, 6]- с ограниченным сильным изменением, если sup — u (aji)|| < оо по всевозможным разi биениям промежутка [а, Ь]. Указанные точные верхние грани называются соответственно полным и полным сильным изменением функции u (t) на [а, 6]. Любая функция с ограниченным сильным изменением является функцией с ограниченным изменением. Векторная функция с ограниченным сильным изменением на [а, 6] со значениями в X может иметь не более счетного числа точек разрыва, и в любой точке промежутка [а, Ь] существуют ее односторонние пределы [56].

Говорят, что последовательность un (t) сходится к u (t) почти всюду на [а, Ь], если существует такое множество Е меры нуль, что lim ||un (<) — u (t)\х = 0 при любом t € [а, 6] Е. п—>оо.

Функция u (t) называется счетнозначной, если она принимает не более счетного числа значений, причем каждое из своих значений, отличное от 0, она принимает на некотором измеримом множестве.

Функция u (t) называется сильно измеримой, если существует последовательность счетнозначных функций, сходящаяся к u{t) почти всюду на [а, Ь].

Операторная функция A (t) со значениями в В (Х, У) называется сильно измеримой на Е Cl, если при любом х G X векторная функция A (t)(x) сильно измерима в смысле предыдущего определения.

Оператор, А: X —> У называется замкнутым, если из хп € @(А), |хп ~ ®о||х 0> \Лхп — 2/011У о, следует, что х0? @(А) и Ах0 = уо.

Линейный оператор, А: X —> Y называется ограниченным, если Щг/||г ^ С для всех u? @(А). Нормой ограниченного оператора, А называется число ||Л|| = sup {||Ли||- ||и|| ^ 1, и Е @(А)} .

Класс замкнутых линейных операторов, определенных на всем пространстве (или на замкнутом линейном множестве), совпадает с классом ограниченных линейных операторов. Однако, если рассматривать замкнутые линейные операторы на линейном (незамкнутом) множестве, то они образуют существенно более широкий класс, чем ограниченные операторы [26].

Линейный оператор, А называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве X и отображает каждое ограниченное в X множество в компактное множество в У.

Пусть, А: X У — замкнутый линейный оператор с @(А) = X. Из общего курса функционального анализа известно, что замыкание области значений каждого из операторов, А и А* является ортогональным дополнением ядра другого: R{A) = N{A*)*~, R (A*) = N (A)1-.

Оператор, А называется нормально разрешимым, если R (A) = А^Л*)-1-. Согласно теореме Хаусдорфа [56] для нормальной разрешимости оператора, А необходимо и достаточно, чтобы R{A) = R (A). Нормально разрешимый оператор, А называется фредгольмовым, если п (А) = dimN (A) < +00, п (А*) = dimN (A*) < +00. Число, а = = п{А) — п (А*) называется индексом оператора А.

Замкнутый оператор, А называется корректно разрешимым на R (А), если он одновременно однозначно и нормально разрешим. Иными словами, оператор, А корректно разрешим на R (A), если он обратим и А~1 непрерывен [54].

Линейный оператор, А: X —> У называется непрерывно обратимым, если выполнены условия:

1)область значений ImA = У,.

2) оператор, А обратим,.

3) А'1 ограничен [54].

Еп — п — мерное евклидово пространство, К1 = R, = (?о,+оо), (-00, г0]г.

Носителем определенной и непрерывной на открытом множестве Gel функции u (t) называется множество {t: u (t) ф 0} П G.

С — плоскость комплексного переменного.

Cq3(G) — множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве G функций с компактными в G носителями.

Lii^) ~ пространство суммируемых с квадратом на интервале / СМ скалярных функций.

LP (R+, X) — пополнение множества сильно непрерывных функций с компактными носителями и со значениями в X по норме оо Р.

J \u (t)fxdtj, 1 < оо.

Пусть дана монотонная неубывающая ограниченная функция a (t) (—00.

ОО 2 интеграл Лебега — Стилтьеса f |/(?)| da{t). В метрике, порождаемой оо оо скалярным произведением (/, д) = f f (t)g (t)da (t), это пространство оо становится гильбертовым. В L2a, как и во всяком евклидовом пространстве выполнено неравенство Коши — Буняковского, которое в данном случае имеет вид оо ^ оо оо.

J №Wd*(t) < J f (t)2d*(t) J g (t)2da (t).

— сю / —оо —оо см. например, [9], с.45). х:

•to ~ пополнение множества функций u (t), u (t) = 0, t ^ с + компактными носителями и со значениями в X, имеющих сильно непрерывные первые производные в X, сильно непрерывные вторые производные в У по норме оо.

I e2at (|Wt)ll* + W (t)fx + IKMIIJ-) Л to a = const € R.

— пополнение множества сильно непрерывных функций u (t),.

R+ u (t) = 0, t ^ to, с компактными носителями и со значениями в У по норме оо.

I e^\u (t)\2Ydt to.

Ради краткости для норм в этих пространствах введем обозначения:

IHIRy > IHIr'"O •.

H (to, оо) — множество абсолютно непрерывных при t ^ to скалярных функций h (t), у которых в точках существования производной h'(t) < г < 1 и t — h (t) +00 при t +00.

Н (—оо, +оо) = НШ и для h (t) Е HR требуем, чтобы? — h (t) —> ±00 при? —У ±-оо.

Sh{t)u{t) deJ u (t — h (t)), Sm: L2 X2 .

В диссертации изучается уравнение вида (3) с неограниченными замкнутыми операторными коэффициентами Akj, Akj (t): Y —> Y, 9{Aki) = =X CY, D* = frgg, к = 0,1,2, причем Akj-(t),.

Bk (t, r) измеримы no t,.

Лк (т): X Y, Bk (t, r): X —> Y — оператор — функции с ограниченным изменением по т в равномерном смысле supElHfcfa) ~^fe (r"-i)llr ^ с < оо, p{t) = siip]Pl№(*>7*) ~ В kit, Ti-i)\y ^ с < оо * по всевозможным разбиениям промежутка [а, 6] и для любого и Е X выполнены неравенства:

Akju\Y < С |М|Х, \Akjit)u\Y < С ||и||х, о.

J dAkir) u х' о.

J dTBkit, т) и.

CIM.

X ' j = 0, m, к = 0,1.

Интегралы понимаются в смысле Лебега — Стилтьеса [56]. Обозначим = \Akj\x+Y' = °'т' к = 0,1.

XyY — гильбертовы пространства, Ц-Ц^ ^ «=^fco к = 0,1- hkj (t) е H (t0,+oo), j = 0~m, к = 0,1. Пусть.

1 / m.

Lpo = D — J2 К] ИЪ" + (*)] 5fcjIJ+ftw (0 + fe=o i=o 0,.

JdT [Ак (т) + Bk (t, t)} St j Dkt: X^ У^.

Тогда уравнение (3) перепишется в виде.

LPouit) = f (t).

4).

Под решением уравнения (4) понимается функция u (t), сильно абсолютно непрерывная в X, имеющая сильно абсолютно непрерывную производную в Y я удовлетворяющая уравнению (4) почти всюду.

Если решение u (t) ищется на полуоси [?о,+оо), то рассматривается основная начальная задача u (fc)(0 = 9k (t)y te[t0- h, t0], где h = inf {t — hkj (t), tr}. t^t Q j=0,m к=0,1.

Помимо основной начальной задачи в диссертации исследован вопрос двусторонних решений, т. е. решений, существующих на всей действительной оси.

Для уравнения (4) операторнозначную функцию.

1 / m.

L{X, t) = Х2Е — ]Г A* (]Г [Л*, — + ezp (-a [Л*, — + hkj (t)}) +.

ЬП i — n fc=o 4 j=0 b.

J dT lAk{r) + Bk (t, r)]exp{-iXr a назовем переменным операторным пучком. Операторнозначную функцию.

L (А) =.

1 / m.

-£Хк I ^ Akjexp (-iXhkj) + / ?^4*-(т)е:гр (-гАт) fc=0 V=o { назовем постоянным операторным пучком [39].

Оператор — функции L-1(A,?) = Д (А,?), L-1(A) = ЯР (А) назовем резольвентами, соответствующими переменному и постоянному пучкам.

Напомним, что.

ДР (А)||Х — sup ||u||y, ||ЛР (А)||У — sup .

Множество комплексных чисел Л, при которых область значений Im{L{Л)) плотна в пространстве Y и оператор L{А) обладает непрерывным обратным оператором ДР (Л) называется резольвентным множеством пучка и обозначается p (L (Л)).

Дополнение резольвентного множества p (L (X)) до комплексной плоскости С называется спектром пучка L (X) и обозначается u (L (Л)). Спектр сг (ЦА)) можно разбить на три непересекающихся множества: a (L{)) = Ра U От U Ra.

Ра — множество комплексных чисел Л, при которых оператор L{А) не имеет обратногоРа называется точечным спектром оператора.

ДА).

До G Pff, если 3<£о ф 0, (ро G X, такой что L (Ao)<^o = 0.

Са ~ множество комплексных чисел А, при которых оператор L (А) обладает обратным оператором с плотной в Y областью определения, но оператор RP (X) не является непрерывнымСа называется непрерывным спектром оператора L (А).

А о G Са, если 3<рп G X, \ipn\x = 1и lim IW-M^nlly = 0.

71—ЮО.

Ra — множество комплексных чисел А, таких что L{А) имеет обратный оператор, область определения которого не является плотной в УRa называется остаточным спектром оператора L (А). Ао € Ra, если 3tp Е Y, (р ф 0 такой, что для любого ф 6 X.

Ь ()ф, 1р) у = 0.

Некоторые вспомогательные предложения Преобразование Фурье [30] функции /(?) е L2(R, J7)} где Н гильбертово пространство, определяется как N.

А) = l.i.m.-jU [ exp (—iXt)f (t)dt. N->oo^/27T JN.

Под l.i.m. понимается предел no L2(R, Я) -норме. Функция оо g (t) = l.i.m. — f exp (iXt) f (X)dX N-+00 л/2тг J оо называется обратным преобразованием Фурье функции /(А).

Теорема Планшереля [30]. Преобразование Фурье переводит функции из L2(R, Я) в L2(R, Я). Точнее, если f (t) € L2(R, Я), то функция n.

А) = U.m.-L [ exp (—iXt)f (t)dt N->ooy/27T JN существует и /(A) € Ь2(Ш, Я). При этом.

X) оо.

I ||/(А)||^А= J \f (t)\2Hdt, оо —оо N.

0 = 1ллп —L f exP (iXt)f (X)dX.

N-Юоу 27 Г У.

— N.

Из этой теоремы следует, что если ImX = а⁰, то оо ||/(А)||^А= J exp (2at)\f (t)\2Hdt.

1тпХ=а —оо.

Теорема Пэли — Винера [23]. Целая голоморфная функция /(А) является преобразованием Фурье оо.

ДА) = J exp (—iXt)f (t)dt оо функции f (t) G Cg°®, носитель supp f (t) которой содержится в отрезке, а пространства R тогда и только тогда, когда для любого целого N существует положительная постоянная Сдг такая, что.

А) ^ Civ (l + M)~N exp (a ImX). н.

Теоремы о замкнутых операторах ([21], [56]). Если, А: X -" —> Y — замкнутый оператор, а В — ограниченный линейный оператор, действующий из 9(B) С X в Y, причем 9(A) С, то, А + В на 9(A) представляет собой замкнутый линейный оператор.

Теоремы об обратных операторах [54]. Линейный оператор, А: X -> Y непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R (A) = Y и для некоторой постоянной т > 0 и для всех х 6 9(A) выполняется неравенство ^ т ||а:||х .

Пусть, А — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство X на банахово пространство У. Тогда обратный оператор А~1 ограничен.

Оператор Асуществует и одновременно ограничен на R (A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной т > 0 и Vx € 9(A) выполняется неравенство ^ т .

Теорема Коши [27]. Если f (z) аналитична в некоторой полосе, а ^ Imz ^ 6, причем f (z) равномерно стремится к нулю при z —> оо в этой полосе, то контур интегрирования можно произвольно деформировать в этой полосе. В частности, все контуры Imz = I эквивалентны между собой, т. е. интеграл / f (z)dz не зависит от I при, а ^ I ^Ь.

Imz=l.

Краткое содержание диссертации.

Представляемая диссертация состоит из введения, двух глав, которые подразделены на 5 параграфов и списка литературы.

1. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of Ordinary Differential Equation in Banach Space // Comm. on pure and appl. Math. V. 16. 1963. P. 121−239.

2. Азбелев H.B., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф.

Введение

в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

3. Азбелев Н. В., Сулавко Т. С. К вопросу об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. Т. 10, № 12. 1974. С. 2091;2100.

4. Алиев Р. Г. О разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. Т. 274, № 6. 1979. С. 1289−1291.

5. Алиев Р. Г. К вопросу о необходимых и достаточных условиях однозначной разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. Т. 267, № 1. 1982. С. 11−14.

6. Алиев Р. Г. Об устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Диффференц. уравнения. Т. 23, № 4. 1987. С. 555−568.

7. Алиев Р. Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами. Махачкала: Изд-во Даг-госуниверситета, 1992.

8. Асланов Г. И. О дифференциальных уравнениях с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // Матем. заметки. Т. 53, № 3. 1993. С. 153−155.

9. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Харьков: Вища школа, 1977.

10. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

11. Быков Я. В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе: Изд-во КГУ, 1957.

12. Власов В. В. Об одном классе дифференциально-разностных уравнений в гильбертовом пространстве и некоторых спектральных вопросах // Доклады РАН. Т. 327, JY* 4−6. 1992. С. 428−432.

13. Власов В. В., Малыгина В. В. О корректной разрешимости линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве // Дифференциальные уравнения. Т. 28, № 5. 1992. С. 901−903.

14. Власов В. В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве // Известия вузов. Математика. JVa 5. 1993. С. 24−35.

15. Власов В. В. О поведении решений одного класса функциональнодифференциальных уравнений на полуоси и некоторых спектральных вопросах // Известия вузов. Математика. Т. 12. 1992. С. 11−20.

16. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Мат. сборник. Т. 186, № 8. 1995. С. 67−92.

17. Власов В. В. О некоторых спектральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных уравнений // УМН. Т. 53, № 4.1998. С. 217−218.

18. Волътерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

19. Volterra Е. On elastic continua with hereditary characteristics //I. Appl. Mechanics. V. 18. 1951. P. 273−279.

20. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М.: Наука, 1983.

21. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

22. Евграфов М. А. Аналитические функции. М.: Наука, 1991.

23. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

24. Каменский Г. А., Скубачевский А. Л. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд-во МАИ, 1992.

25. Камке Е. Интеграл Лебега-Стилтьеса. М.: Физматгиз, 1959.

26. Канторович Л. В., Акилов Т. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

27. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.

28. Квапиш М. О существовании и единственности решений уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Т. 4. 1967. С. 96−109.

29. Колмановский В. В., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

30. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

31. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды ММО. Т. 16. 1967. С. 209−292.

32. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

33. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

34. Курбатов В. Р. Линейные дифференциально разностные уравнения. Воронеж. Издательство ВГУ, 1990.

35. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

36. Локшин А. А., Суворова Ю. Л. Математическая теория распростра-^ нения волн в средах с памятью. М.: Изд-во МГУ, 1982.

37. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш. школа, 1982.•. ¦

38. Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. Т. 28, JY* 10. 1992. С. 1716−1723.

39. Маркус А. С.

Введение

в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев.: Штиинда, 1986.

40. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

41. Miller R.K. An integrodifferential equation for rigid heat conductors with memory // J. of Math, and Anal. Appl. V. 66. 1978. P. 313−332.

42. Милославский А. И. О дестабилизирующем воздействии малого демпфирования на абстрактные неконсервативные системы // УМН. Т. 41, № 1. 1986. С. 199−200.

43. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986.

44. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

45. Мышкис А. Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. Т. 32, JV" 2. 1977. С. 173−202.

46. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965.

47. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984.

48. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961.

49. Писаренко В. Г. Проблемы релятивистской динамики многих тел и нелинейной теории поля. Киев: Наукова думка, 1974.

50. Пламеневский Б. А. О существовании и асимптотике решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Изв. АН СССР. Сер. Математ. Т. 32, № 6. 1972. С. 1348−1401.

51. Рубаник В. П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Университетское, 1985.

52. Серебрякова И. В. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом в XYIII столетии // Материалы Третьей ВсесоюзнойМежвузовской конференции по теории и приложениям ДУ с OA. Сентябрь, 1972. Черновцы, 1972.

53. Солодов А. В., Солодова E.JI. Системы с переменным запаздыванием. М.: Наука, 1980.

54. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Мир, 1984.

55. Хейл Дэю. Теория функионально дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1984.

56. Хилле Э.} Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

57. Чистяков В. В. Об отображениях ограниченной вариации со значениями в метрическом пространстве // УМН. Т. 54. 1999. Вып. 3(327).

58. Элъсгольц Л. Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

59. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: ЭЛМ, 1985.

60. Мерданова Н. Ш. Необходимые и достаточные условия обратимости оператора с распределенным запаздыванием в гильбертовом пространстве // Сб. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала: Изд-во ДГУ. 2000. Вып. 4. С.58−64.

61. Мерданова Н. Ш. О разрешимости уравнения с распределенным запаздыванием с маловозмущенными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // Вестник ДГУ. Естественные науки. Махачкала: Изд-во ДГУ. Вып. 1. 1999. С. 64−67.

62. Мерданова Н. Ш. О нормальной разрешимости абстрактного ФДУ 2-го порядка в гильбертовом пространстве // Деп. в ВИНИТИ 10.08.00, № 2217-В00. -13 с.