Достаточные условия существования инерциального многообразия для волнового уравнения с сильной диссипацией

В диссертационной работе исследуется асимптотическое (при больших временах) поведение решений сильнодиссипативного волнового уравнения, а именно возможность построения инерциального многообразия. В диссертации рассматривается начально-краевая задача для квазилинейного сильнодиссипативного волнового уравнения вида ии — 273Ащ + 2тАи = /(и) + д (щ), (0.1) в ограниченной области условиями Дирихле на границе, дополненного начальными условиями.

0 =щ (х) еН^П), щ1=0=ро (х)еЬ2(П). (0.2).

Уравнения такого типа возникают во многих физических приложениях, например, уравнение (0.1) описывает теплопроводность третьего типа в соответствии с теорией Грина-Нагди (см. [14, 15, 16]). Возможны и другие физические интерпретации, такие как теория перехода Джосефсона (возмущенное уравнение эт-Гордона для потока, см. [18]) или движение вязкоупругих тел типа Кельвина-Войта (см. [9, 19]).

Задача (0.1), (0.2) исследовалась многими авторами. Для уравнений с нелинейной зависимостью только от и (то есть при д = 0) глобальное существование и диссипативность сильных, лежащих в регулярном фазовом пространстве [H2(il) ПЛо (П)] х -^о (^) решений были установлены в [33] (см. также [34]) без какого-либо ограничения на рост нелинейной функции /. С другой стороны, если дополнительно наложить условие f'(u) ^ с (1 + |w|p), р ^ 4 при п = 3, то уравнение (0.1) будет корректно поставлено также в естественном энергетическом фазовом пространстве х Ьг (Г^) (см., например, [26]). Условия на функции / и д, при которых существует и единственно слабое решение задачи (0.1), (0.2), были приведены в [13]. Кроме того, доказательство корректности поставленной задачи при более мягких условий можно найти, например, в [8].

Значительная часть работ посвящена асимптотическому поведению решений уравнения (0.1) при больших временах.

Хорошо известно, что асимптотическое поведение при больших временах многих диссипативиых систем, порождаемых уравнениями математической физики, может быть описано в терминах так называемых глобальных аттракторов, то есть таких компактных инвариантных множеств фазового пространства, которые притягивают образы всех ограниченных множеств при стремлении времени к бесконечности (см., например, [6, 27, 30]). С одной стороны, глобальный аттрактор, если он существует, содержит все нетривиальные предельные динамики рассматриваемой системы, а с другой стороны, он существенно меньше, чем исходное фазовое пространство. В частности, если упомянутое уравнение рассматривается в ограниченной области С Ж", то этот аттрактор часто имеет конечную фрактальную размерность (см. [6, 27, 30] и ссылки, приведенные в этих работах). В силу этого свойства несмотря на изначальную бесконечномерность фазового пространства Е предельная динамика оказывается конечномернойона эквивалентна некоторой подходящей динамической системе, определенной на компактном подмножестве R". Этот факт, основанный на модифицированной теореме Гельдера.

Мане (см. [17]), называется принципом конечномерной редукции.

Существование и свойства аттракторов для волновых уравнений с сильной диссипацией исследовались в работах [1, 10, 13, 20, 25, 28, 29, 33] при различных ограничениях на нелинейные функции / и д.

Тем не менее упомянутый принцип конечномерной редукции хоть и очень важен, но имеет существенные недостатки. Во-первых, из теоремы Гельдера-Мане следует только, что редуцированная динамическая система непрерывна по Гельдеру. Этого недостаточно для того, чтобы представить ее в качестве динамической системы, порождаемой корректно поставленной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Более того, не известны разумные условия на глобальный аттрактор, которые гарантируют ее липши-цевость. Второй недостаток заключается в том, что сложная геометрическая структура аттрактора затрудняет использование принципа конечномерной редукции на практике при численных вычислениях: в сущности, возможна лишь эвристическая оценка на число неизвестных, которое необходимо для описания всех динамических эффектов в предельном случае.

В этой связи весьма полезным оказывается понятие инерциального многообразия бесконечномерной динамической системы (в случае неавтономных уравнений вводится понятие интегральных многообразий). Это многообразие представляет собой конечномерную поверхность, которая содержит глобальный аттрактор и экспоненциально притягивает все траектории. При этом появляется возможность свести исследование предельных режимов исходной бесконечномерной системы к решению аналогичной задачи для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Инерциальные многообразия были введены и исследованы в [7, 11, 12, 22] (см. также [21, 27, 35, 38], а для неавтономных уравнений [3, 4]).

Было предложено несколько методов построения инерциальпых мпогообразий: метод Ляпунова-Перропа, построение сходящихся последовательностей приближенных инерциальных многообразий, метод граф-трансформации (см. [7, 11, 27, 38]). Однако все известные к настоящему времени методы построения инерциальных многообразий требуют выполнения довольно жесткого условия, называемого условием спектральной щели (см. [11]), которое предполагает существование произвольно больших зазоров в спектре соответствующего линейного оператора. В общем случае это свойство может быть выполнено только в одномерном пространстве. Тем не менее существование инерциальных многообразий может быть доказано для многих типов уравнений, главным образом в пространствах размерности один и два (см. [7, 11, 27, 38] и ссылки, приведенные в них).

В упомянутых работах инерциальные многообразия в основном были построены для различных квазилинейных параболических уравнений и систем с линейным самосопряженным операторным членом в правой части уравнения. В случае волновых уравнений с диссипацией соответствующий линейный оператор несамосопряжен, что приводит к значительным трудностям при формулировке условия спектральной щели. Для более известного случая волновых уравнений со слабой диссипацией инерциальные многообразия были построены, например, в [23, 24]. При этом задача может быть сведена к общей теореме для абстрактного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве (см. [21, 32, 35]). Также для неавтономного волнового уравнения с диссипацией было построено интегральное многообразие (см. [5, 32]). Кроме того, в [24] были доказаны результаты о несуществовании инерциальных многообразий для диссипативного уравнения эт-Гордона.

Для слабодиссипативного волнового уравнения вида — Аи = ¡-(и), (0.3) имеет место следующая теорема (см., например, Горицкий, Чепыжов [32]1).

Теорема 0.1. Пусть функция / липшицева с константой I, а 0 < Лі < Л2 ^ Аз • • • — собственные числа оператора — Д в О, с условиями Дирихле на границе. Кроме того, пусть существует такое ТУ, для которого выполнено.

Тогда для задачи (0.3), (0.2) в пространстве х ?2(?2) существует.

N-мерное инерциальное многообразие.

Вопрос о существовании инерциальных многообразий для волновых уравнений с сильной диссипацией до сих пор в литературе не рассматривался. Отметим, что спектральные свойства линейного оператора для уравнения с сильной диссипацией принципиально отличаются от слабодиссипативного случая, и следовательно, достаточные условия существования инерциального многообразия принимают совершенно иной вид.

Диссертация построена следующим образом. В главе 1 рассмотрены общие вопросы, касающиеся теории инерциальных многообразий и сильнодис-сипативного волнового уравнения. В параграфе 1.1 дано определение инерциального многообразия и приведена общая теорема о существовании инерциальных многообразий для абстрактного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве. В параграфе 1.2 поставлена начально-краевая задача для волнового уравнения с сильной диссипацией. Спектральные свойства соответствующего линейного уравнения для различных соотношений между коэффициентами диссипации и % рассмотрены в параграфе 1.3.

На самом деле, в работе рассматривается неавтономное уравнение, а здесь приведена переформулировка результата для автономного случая.

Адг < Адг+і < и имеет место неравенство.

Основные результаты работы (достаточные условия существования инер-циальных многообразий) даны в главе 2 в теоремах 2.1 и 2.2, которые касаются двух существенно различающихся случаев расположения спектральной щели. Соответственно, теорема 2.1 и параграф 2.1 посвящены случаю щели в действительной части спектра, а в теореме 2.2 и параграфе 2.2 рассматривается случай щели в недействительной части спектра. Для каждой из этих двух ситуаций в фазовом пространстве Щ (О) х ^(О) вводятся новые нормы, эквивалентные исходной, в которых выполнены условия упомянутой общей теоремы для абстрактного дифференциального уравнения. Тем не менее схемы построения этих норм существенно отличаются, и поэтому эти случаи рассматриваются отдельно. Результаты параграфа 2.1 подробно опубликованы в [2] и улучшают результаты, опубликованные автором в [36]. Результаты параграфа 2.2 частично опубликованы в [31, 37].

В главе 3 приведены следствия из теорем 2.1 и 2.2 и рассмотрены некоторые частные случаи уравнения (0.1). В параграфе 3.1 исследуется изменение условия спектральной щели в действительной части спектра при малых и при больших коэффициентах диссипации. В параграфе 3.2 даны переформулировки теоремы о щели в недействительной части спектра для частных случаев (д = 0, 7″, = 0, / = 0).

Наконец, в приложении, А дано определение слабого решения и проведено доказательство корректности поставленной начально-краевой задачи.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю Горицкому Андрею Юрьевичу за постановку задачи, плодотворные обсуждения и постоянное внимание к работе, а также Чепы-жову Владимиру Викторовичу за полезные замечания, книги и статьи.

1. A. N. Carvalho, J. W. Cholewa, Attractors for strongly damped wave equations with critial nonlinearities // Pacific J. Math. V. 207, P. 287−310, 2002.

2. N. A. Chalkina, Sufficient Condition for the Existence of an Inertial Manifold for a Hyperbolic Equation with Weak and Strong Dissipation // Russ. J. Math. Phys. V. 19, № 1, P. 11−20, 2012.

3. V. V. Chepyzhov, A. Yu. Goritsky, Global integral manifolds with exponential tracking for nonautonomous equations // Russ. J. Math. Phys. V. 5, № 1. P. 9−28, 1997.

4. V. V. Chepyzhov, A. Yu. Goritsky, Explicit construction of integral manifolds with exponential tracking // Appl. Anal. V. 71, № 1−4. P. 237−252, 1999.

5. V.V. Chepyzhov, A.Yu. Goritsky, M.I. Vishik, Integral manifolds and attractors with exponential rate for nonautonomous hyperbolic equations with dissipation // Russ. J. Math. Phys. V. 12, № 1. P. 17−39., 2005.

6. V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik, Attractors for Equations of Mathematical Physics. Providence: AMS. Coll. Publ, 2002.

7. P. Constantine, C. Foias, B. Nicolaenko, R. Temam, Integral manifolds and inertial manifolds for dissipative partial differential equations. Appl. Math. Sciences. V. 70. New York: Springer, 1989.

8. F. Dell’Oro, V. Pata, Long-term analysis of strongly damped nonlinear wave equations // Nonlinearity. V. 24. P. 3413−3435, 2011.

9. G. Duvant, J.-L. Lions, Inequalities in mechanics and physics. Berlin: Springer, 1976.

10. A. Eden, V. Kalantarov, Finite dimensional attractors for a class of semilinear wave equations // Turkish J. Math. V. 20, P. 425−450, 1996.

11. C. Foias, G. Sell, R. Temam, Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations // J. Diff. Eq. V. 73, № 2, P. 309−353, 1988.

12. C. Foias, G. Sell, E. Titi, Exponential tracking and approximation of inertial manifolds for dissipative nonlinear equations // J. Dynam. Diff. Eq. V. 1, № 2, P. 199−244, 1989.

13. J.M. Ghidaglia, A. Marzocchi, Longtime behavior of strongly damped wave equations, global attractors and their dimension // SIAM J. Math. Anal. V. 22. m, P. 879−895, 1991.

14. A. E. Green, P. M. Naghdi, A unified procedure for construction of theories of deformable media: I. Classical continuum physics // Proc. R. Soc. Lond. A V. 448, P. 335−356, 1995.

15. A. E. Green, P. M. Naghdi, A unified procedure for construction of theories of deformable media: II. Generalised continua // Proc. R. Soc. Lond. A V. 448, P. 357−377, 1995.

16. A. E. Green, P. M. Naghdi, A unified procedure for construction of theories of deformable media: III. Mixtures of interacting continua // Proc. R. Soc. Lond. A V. 448, P. 378−388, 1995.

17. B. R. Hunt, V. Y. Kaloshin, Regularity of embeddings of infinite-dimensional fractal sets into finite-dimensional spaces // Nonlinearity. V. 12, P. 12 631 275, 1999.

18. P. S. Landahl, 0. H. Soerensen, P. L. Christiansen, Solitons excitations in Josephson tunnel junctions // Phys. Rev. B V. 25, P. 5337−5348, 1982.

19. V. P. Maslov, P. P. Mosolov, Nonlinear wave equations with pertubed by viscous terms Walter de Gruyter. Berlin, New York, 2000.

20. P. Massat, Limiting behavior for strongly damped nonlinear wave equations //J. Diff. Eqns. V. 48, P. 334−349, 1983.

21. M. Miklavcic, A sharp condition for existence of an inertial manifold //J. Dynam. Differential Equations. V. 3, № 3, P. 437−456, 1991.

22. X. Mora, Finite dimensional attracting manifolds in reaction diffusion equations // Contemp. Math. V. 17. P. 353−360, 1983.

23. X. Mora, Finite-dimensional attracting invariant manifolds for damped semilinear wave equations //Res. Notes in Math. V. 155. P. 172−183, 1987.

24. X. Mora, J. Sola-Morales, Existence and nonexistence of finite-dimensional globally attracting invariant manifolds in semilinear damped wave equations // Dynamics of Infinite Dimensional Systems, New York: Springer, P. 187 210, 1987.

25. V. Pata, M. Squassina, On the strongly damped wave equation // Commun. Math. Phys. V. 253, P. 511−533, 2005.

26. V. Pata, S. Zelik, Smooth attractors for strongly damped wave equations // Nonlinearity. V. 19, P. 1495−1506, 2006.

27. R. Temam, Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Appl. Math. Sci. V. 68. New York: Springer, 1988, 2nd ed. 1997.

28. G. F. Webb, Existence and asymptotic behavior for a strongly damped nonlinear wave equation // Can. J. Math. V. 32, P. 631−643, 1980.

29. S. Zhou, Global attractor for strongly damped nonlinear wave equations // Funct. Diff. Eqns. V. 6, P. 451−470, 1999.

30. А. В. Бабин., M. И. Вишик, Аттракторы эволюционных уравнений. М: Наука, 1989.

31. А. Ю. Горицкий, Н. А. Чалкина, Инерциальные многообразия для слабо-и сильнодиссипативных гиперболических уравнений. Труды семинара Петровского № 29, 2011.

32. А. Ю. Горицкий, В. В. Чепыжов, Свойство дихотомии решений квазилинейных уравнений в задачах об инерциалъных многообразиях // Мат. Сб. Т. 196, № 4, С. 23−50, 2005.

33. В. К. Калантаров, Глобальное поведение решений нелинейных уравнений математической физики классических и неклассических типов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, Ленинград, 1988.

34. В. К. Калантаров, Об аттракторах для некоторых нелинейных задач математической физики // Зап. Научн. сам. ЛОМИ АН СССР, Т. 152, С. 50−54, 1986.

35. А. В. Романов, Точные оценки размерности интегральных многообразий для нелинейных параболических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 57, № 4, С. 36−54, 1993.

36. H.A. Чалкина, Инерциалъное многообразие для гиперболического уравнения с диссипацией // Вестн. моек, ун-та сер. 1, Математика. Механика. № 6, С. 3−7, 2011.

37. Н. А. Чалкина, Инерциалъное многообразие и условие спектральной щели для сильнодиссипативного гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения, Т. 47, № 11, С. 1658, 2011.

38. И. Д. Чуешов, Введение в теорию бесконечномерных динамических систем. Харьков: Акта, 1999.