Гибридные интегральные преобразования (Фурье, Бесселя) с применением к задачам математической физики

Одной из основных задач ускорения научно-технического прогресса является создание принципиально новых видов техники и технологии, повьанение производительности труда, освоение недр земли, океана, космоса, охрана и облагораживание окружающей среды, обеспечение надежной обороноспособности и достаточно высокого жизненного уровня населения.

Развитие и усовершенствование производства на современном этапе связано с широким применением композиционных материалов в разного рода технологических процессах, строительстве, радиотехнике и радиоэлектронике, сварочном производстве, атомной энергетике и космической технике. При расчете на прочность конструктивных элементов машин и механизмов, нагревательных устройств, зданий и сооружений, а также среди многочисленных технических задач, возникающих при конструировании машин и проектировании инженерных сооружений возникает необходимость в изучении температурных полей и вызываемых ими упругих напряжений в кусочно-однородных телах, состоящих из нескольких материалов, имеющих разные физико-механические характеристики, в неоднородных телах. Важное место здесь занимает аналитическое исследование кинетики физических и химико-технологических процессов, расчеты элементов на кручение и изучение колебательного процесса под воздействием массовых сил. При этом инженерное исследование кинетики целого ряда физических и химико-технологических процессов идентичны задачам стационарной и нестационарной теплопроводности.

Поэтому определение температурных полей и температурных напряжений на современном этапе развития науки представляет существенный теоретический, практический и, в конечном счете, экономический интерес.

Этим обстоятельством и объясняется то исключительное внимание, которое уделяется вопросам теплопроводности в настоящее время. При этом значительно повышаются требования к точности определения температур и тепловых потоков. В связи с этим возрастает роль точных аналитических методов решения краевых задач для уравнения теплопроводности, в ряде случаев позволяющих представить общее решение в виде, удобном для оценки теплового режима твердого тела, превалирующих факторов теплообмена. Особенно это относится к тепловым задачам обобщенного типа, когда классические аналитические методы математической физики становятся неприменимыми. Определенные трудности вызывают многомерные задачи (особенно в цилиндрической и сферической системах координат), а также тепловые задачи в слоистых телах.

Таким образом, возникает потребность решения достаточно широкого класса задач математической физики неоднородных структур. Последнее требует с одной стороны усовершенствования и модификации существующего математического аппарата, а с другой стороныразвития новых методов.

Проверкой достоверности информации о решении задач математической физики, как правило, служит решение соответствующей линейной задачи. Одним из эффективных методов решения линейных задач является метод интегральных преобразований. Наиболее распространенными среди них являются, ставшие классическими, интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Фурье-Бесселя, Вебера, Ханке-ля, Меллина, Лежавдра, Гильберта, Канторовича-Лебедева, Меллера-Фока [4, 10, 20, 33, 54, 60]. Оказывается, что для решения задач математической физики кусочно-однородных (неоднородных) сред может быть создан аналог интегральных преобразований, как эффективного метоца получения точного решения краевых задач математической физики неоднородных структур.

Впервые такие интегральные преобразования появились в математической литературе в 70-х годах нашего столетия в работах Уф-лянда Я.С. и его учеников f23,24,25 26] и были названы гибридными. В этих работах получены гибридные интегральные преобразования Фурье — Фурье на полубесконечном и конечном промежутке, гибридные интегральные преобразования Бесселя — Фурье и ФурьеБесселя на полярной оси.

Методика развитая в этих работах была применена Процен-ком B.C. и его учениками для построения гибридных интегральных преобразований Фурье — Лежандра, Лежандра — Фурье, Фурье — Ханке-ля, Ханкеля — Лежандра [51, 52, 53, 54, 55] .

Характерной особенностью этих работ является рассмотрение случая лишь одной точки сопряжения (х-0. или ъ = Я0) в предположении наличия в ней только условий контакта:

CL у u.

Однако, при осуществлении неидеального термического контакта, что естественно, первое из условий (I) имеет вид.

2>

В задачах термоупругости для тел, обладающих симметрией, при осуществлении идеального механического контакта вместо второго условия (I) имеем условие [бб].

3) lOt^CL.

— о.

Условия (I), (2), (3) приводят к рассмотрению условий вида.

Таким образом, структура (I) оператора сопряжения, принимающего участие в задачах, неохватывает даже таких практически важных условий сопряжения как неидеальный механический контакт на стыке цилиндрических или сферических поверхностей в задачах термоупругости. Более того, не всегда четко выписаны правила действия прямого и обратного оператора интегрального преобразования. Последнее означает отсутствие логической схемы применения гибридных интегральных преобразований для построения точных аналитических решений соответствующих задач математической физики неоднородных структур.

Указанные обстоятельства определили направленность настоящей работы. При наиболее общих предположениях на структуры оператора Бесселя и оператора сопряжения гибридные интегральные преобразования (Фурье, Бесселя) при всевозможных сочетаниях операторов Фурье и Бесселя на декартовой оси и полярной оси построены в работе [ЗЙ. Обобщение интегральных преобразований ФурьеБесселя и Вебера на случай полярной оси с двумя точками сопряжения приведено в работах [39, 4l] .

Предлагаемая диссертация посвящена построению, математическому обоснованию и применению к задачам математической физики неоднородных структур гибридных интегральных преобразований (Фурье, Фурье, Бесселя) и гибридных интегральных преобразований (Фурье, Бесселя, Бесселя) при всевозможных сочетаниях операторов Фурье", Фурье, Бесселя и Фурье, Бесселя, Бесселя на полярной оси. Сущесо1-венную роль при этом играет метод дельтаобразных последовательностей, в качестве которых выступает либо ядро Коши, либо ядро Дирихле. В качестве ядра Коши выступает фундаментальная матрица решения задачи Коши для соответствующей сепаратной системы нестационарных уравнений теплопроводности параболического и В-параболи-ческого типов. Это позволяет выписать структуру спектральной функции, спектральной плотности и весовой функции, порожденных операторами Фурье и Бесселя сингулярных задач Штурма — Лиувилля на полярной оси с двумя точками сопряжения. Наличие же спектральной функции, спектральной плотности и весовой функции позволяет написать интегральные представления меры Дирака, порождающие как известно структуру прямого и обратного интегрального преобразования.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы.

Основные результаты" полученные в диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Методом дельтаобразных последовательностей, в качестве которых служит ядро Коши, построены гибридные интегральные преобразования Фурье — Фурье — Вебера, Фурье — Ханкеля Б-го родаФурье, Фурье — Ханкеля П-го рода — Вебера, Ханкеля 1-го родаФурье — Вебера на полярной оси с двумя точками сопряжения.

2. Построены методом дельтаобразных последовательностей гибридные интегральные преобразования Ханкеля 1-го рода — ФурьеФурье, Ханкеля П-го рода — Фурье — Фурье, Ханкеля П-го родаФурье — Вебера, Ханкеля 1го рода — Ханкеля П-го рода — Фурье, Ханкеля 1Ь-го рода — Ханкеля 1-го рода — Фурье. В качестве дельтаобразной последовательности служит ядро Дирихле.

При этом сформулированы и доказаны теоремы о разложимости кусочно-непрерывных, абсолютно-суммируемых (с точно определенной весовой функцией) функции ограниченной вариации через ядра гибридных интегральных преобразований.

3. Сформулированы и доказаны теоремы о наличии основного тождества интегрального преобразования дифференциального оператора, позволяющего применять полученные интегральные преобразования для построения в замкнутой форме решений соответствующих сингулярных задач математической физики неоднородных структур.

4. В качестве применения полученных интегральных (Фурье, Бесселя) приведены: а) задача вычисления значений полипараметрических несобственных интеграловб) задача о структуре нестационарных полей, возникающих в кусочно-однородной полубесконечной пластинке в результате действия сосредоточенного на одном из участков теплового источникав) задача о структуре волн, возникающих при колебании кусочнооднородной струны в результате воздействия на каждом участке струны возмущающих силг) задача о структуре упругих полей, возникающих при кручении кусочно-однородного стержня в результате силового воздействия, сконцентрированного на одном из участков стержня.

5. Проведен численный расчет на ЭВМ ЕС-1022 структуры нестационарного температурного поля в кусочно-однородной полубесконечной пластинке в зависимости от физико-механических параметров и численный анализ структуры упругого поля, возникающего в кусочно-однородном стержне при кручении.

6. Теоретические результаты работы состоят в следующем: а) получены гибридные интегральные преобразования (Фурье, Фурье, Бесселя) и гибридные интегральные преобразования (Фурье, Бесселя, Бесселя) на полярной оси с 2-я точками сопряженияб) предложена логическая схема применения гибридных интегральных преобразований для построения точных аналитических решений соответствующих задач математической физики неоднородных структур.

7. Практическое значение полученных результатов состоит в том, что они могут быть использованы как математический аппарат для решения широкого класса сингулярных задач математической физики неоднородных структур. Решение, полученное в замкнутом виде, может быть использовано с помощью ЭВМ в инженерных расчетах".