Когомологии функторов в категорию групп

Методы гомологической алгебры в настоящее время широко применяются в различных областях математики" Одно из важнейших применений состоит в использовании гомологических инвариантов для характеризации внутреннего строения изучаемого объекта* Классическим результатом в этом нацравлении является известная теорема Столлингса-Оуона о том, что группы когомологической размерности 1 свободны [ II ]. Естественное развитие этот результат получил в исследовании гомологических условий, обеспечивающих выделение подгруппы Н группы G свободным сомножителем: G — Я* F • Нацример, теорема Уолла-Данвуди [12 ] утверждает, что указанное разложение группы G в свободное произведение со свободной группой F имеет место тогда и только тогда, когда ядро эпиморфизма ZG®Z ~~> Z • i «является проективным модулем над групповым кольцом ZG (в случае, когда пара групп является конечно порожденной, то есть группа G порождена подгруппой Н и конечным множеством элементов). Большой интерес представляет возможность распространения этих исследований на другие классы алгебраических объектов, для которых имеются теории когомологий, аналогичные классической теории когомологий групп (пары групп [22, 23 ], группы с операторами [18, 29 ], полурешетки групп [ 19] и т. п.). При этом естественно рассматривать такую достаточно общую ситуацию, которая включала бы в себя перечисленные объекты как частные случаи. В соответствии с этим в диссертации рассмотрены функторы из малой категории в категорию группу определены и исследовали их когомологии. Классические когомологии групп и упомянутые их обобщения получаются из предлагаемой общей конструкции подходящим выбором малой категории: для категории с одним морфизмом получаются обычные когомологии групп (Пя группа когомологий функтора равна (Г1+1) -й группе когомоло-гий при Kl> 1), для категории с двумя объектами и одним неединичным морфизмом — когомологии гомоморфизма групп и, в частности, когомологии пар группу категория с одним объектом и обратимыми морфизмами приводит к когомологиям групп с фиксированной группой операторов и, наконец, для получения когомологий полурешетки групп можно рассмотреть категорию-, оцре-деляемую данной полурешеткой как частично упорядоченным множеством.

Основной целью диссертации является исследование гомологических свойств алгебраических объектов типа групп с операторами, групп с системой подгрупп и т. п. и их морфизмов.

В этом направлении получены новые результаты о связи между тривиальностью когомологической размерности и свободно-стью рассматриваемых объектов. В рамках общей теории когомологий функторов из малой категории в категорию группу впервые построенной в диссертации, получены результаты, оказывающиеся новыми и для упомянутых частных случаев (теорема о когомоло-гиях копроизведения, построение длинной точной последователь-, ности морфизма). Кроме того, определены когомологии пар группоидов и исследована их связь с когомологиями функторов, определены гомологии групп с фиксированной группой операторов Г и исследована их связь с Гцентральными рядами, Гнильпотентностью и числом образующих Гнильпотентных р-групп.

Основные результаты диссертации устанавливают зависимость между свободностыо функторов из малой категории в категорию групп и равенством нулю их когомологической размерности, Свободные функторы имеют нулевую когомологическую размерность, то есть все группы их когомологий, начиная с первой, тривиальные Как показывает пример 17: 4.7, обратное, вообще говоря, неверно. В следующих важных случаях доказано, что объекты когомологической размерности 0 свободны или обладают свойствами, близкими к свободности.

Теорема 17:4.2. Если когомологическая размерность группы G с группой операторов равна 0 и G является конечно порожденной операторной группой* то G — свободная операторная группа.

Теорема 17:4.5. Пусть 1С — свободная категорияпорожденная деревом, все ребра которого имеют общий конец «t — G K-^Gp — такой функтор из К в категорию групп, что группа Gt порождается образами всех гомоморфизмовсоответствующих ребрам дерева, и конечным множеством элементов. Если когомологическая размерность G равна 0, то упомянутые гомоморфизмы оказываются мономорфизмами и их образы являются различными свободными сомножителями в разложении свободной группы G в свободное произведение.

Теорема 17:4.8. Пусть 2 — свободный моноид с базисом <5у | V (- М) v Если когомологическая размерность конечно порожденной 2 -группы G равна 0, то операторы Ср действуют как мономорфизмыG является свободной группой и разлагается в свободное произведение образов и некоторой подгруппы: G = F* { *N бу (G)}.

— 7.

Отметим также следующий общий результат:

Теорема 17:4.1, Коцредел функтора нулевой когомологической размерности является свободной группой.

Результаты работы докладывались на научно-исследовательском семинаре по алгебре [27, 28] и семинаре по гомологической алгебре механико-математического факультета МГУ и опубликованы в работах [ 29 — 33 ] .

В диссертации четыре главы, каждая из которых разбита на параграфы.

1. Артамонов В. А, Допустиме подгруппы Г-свободной группы. -Сиб. мат. ж., 1970, 1., J6 6, с. I2I4-I236.

2. Басс X. Алгебраическая К-теория. М., 1973.

3. Букур И., Деляну А.

Введение

в теорию категорий и функторов. М., 1972.

4. Гаген Т. Некоторые вопросы теории конечных групп.- В книге: К теории конечных групп. М., 1979, с. 13−97.

5. Завало С. Т. Операторные S-свободные группы.П.- Укр. мат. ж., 1964, 16, № 6, с. 730−751.

6. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М., I960.

7. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М., 1972.

8. Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. М., 1974.9. barr М. beck J. Acyclic mocLets and triples. In: Proceedings of the Conference on Categorical! Algebra. La Jotta, 1965. N.Y., , p. 356−343.

9. Barr M., beck J. Homology anc^ standard construction. -Lect. Notes Math., 19 69, № 80, p. 245−336.

10. Cohen D.E. Groups of cohorcotocjicat dimension one.-Lect. Motes Math, 1972, № 245.

11. Dunwoody M.J. Accessibitity and groups of cohomoto^cat dimension one.- Proc. London Math. 5oc. (3), 1979,32,, MaZ, р.19Ь-215.

12. Gruenberg K.W. Cohomotogicat topics in group theory. Lect. Notes Math., 1970, M°-143.

13. Higgins RJ. Motes on Categories and Groupoids. Princeton, N. J., 1971.

14. Hilton P.J., Stammbach U. A course in homotogical atgebra. N.Y., 1972.

15. Hilton P.J., Stammback U. Ои group acting on groups and associated series. Math. Proc. Cambridge, Phi Eos. Soc., 1976, SO, Msi, p. 115−129.

16. Hoff.G. On the cohomoto9V of categoriesRencl. Math., 1974, 7, M°-2, p. 162- 19 г.18>. Kamber F. Extensions de TC-groupesC.R. Acad.Sci., 1964, 259, Nil 15, p. 2329−2332.

17. Lausch H. Relative cohomology of groups.- Lect. Motes Math., 1977, 573, p. 66−72.

18. MacLane S. Categories for the Vorking Mathematicians. W.Y., 1971.

19. Orzech G. Obstruction theory in algebraic categoris. I. -J. Pure and Appt. APgebra, 1972, 2, W°4? p. 2S7−314.

20. Ribes L. On the cohomology theory of pairs of groups.-Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 21, N<>1, p. 230−234.

21. TaUsu 5, Relative homology and relative cohomology of groups. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 7 sec. I, 1959 9 8 W? i, p. 75−110 .

22. Thomason R.W. Homotopy colimits in th* category of smalt categories Math. Proc. Cambridge, Philos. Soc. 1979, 85, N° 1, p.91−109.

23. Watts C.E. A cohomoloqy theory for small categories. -In: Proceedings of the Conference, on Cateqorica? alcjekra, — 144.

24. Jotta, 1965. N.Y., 1966, p. 331−335.

25. WetEs C. Extension theory for monoids. SemigroupForum, 1978, 16 p. 15−35.7? ? * 1.

26. Басистов А. А. Когомологии групп с операторами.- Вестн. МГУ, Мат., мех., 1979, № 3, с. 94.

27. Басистов А. А. Группоид групп когомологической размерности I.- Вестн. МГУ. Мат., мех., 1981, № 3, с. 73.

28. Басистов А. А. Когомологии групп с операторами, — Вестн. МГУ. Мат., мех., 1980, & 5, с. 24−27.

29. Басистов А. А. Когомологии функтора из малой категории в категорию групп.- ХУ1 Всес. алгебраическая конф. Ленинград, 1981. Тезисы. Ч. I. Л., 1981, с. 13−14.

30. Басистов А. А. Скрещенное произведение категории на функтор.- МГУ. М., 1983, 32 е.- Рукопись деп. в ВИНИТИ 29.08.1983 № 4724−83 Деп.

31. Басистов А. А. Когомологии функторов в категорию групп. I.- МГУ. М., 1983, 44 е.- Рукопись деп. в ВИНИТИ 29.08.1983 Jfc 4722−83 Деп.

32. Басистов А. А. Когомологии функторов в категорию групп. П.- МГУ. М., 1983. 44 е.- Рукопись деп. в ВИНИТИ 29.08.1983 № 4723−83 Деп.